Establecer los límites y evaluar $\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}ydv$

Question

Establecer los límites y evaluar la integral.

$$\displaystyle\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}ydv$$ $$G$$

G es la región delimitada por el avión $z = y$, $xy-plane$ y la superficie de la $y = 1 - x^2$

Necesito ayuda para encontrar los límites de integración. Tengo esta tan lejos, pero creo que no es correcto.

$$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} y\;dz\;dy\;dx$$

Answer 1

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} y\;dz\;dy\;dx$

Tomando la antiderivada en términos de $dz$, tenemos

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} yz\;dy\;dx$

Ahora, evaluar de $F(y) -f(0)$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} yy\;dy\;dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} y^2\;dy\;dx$

Tomando la antiderivada en términos de $dy$, tenemos

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{y^3}{3}\;dx$

Ahora, evaluar de $F(1-x^2) -f(0)$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{(1-x^2)^3}{3}\;dx$

Necesitamos ampliar primera

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{-x^6+3x^4-3x^2+1}{3}\;dx$

y simplificar

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{-x^6}{3}+x^4-x^2+\frac{1}{3}\;dx$

Tomando la antiderivada en términos de $dx$, tenemos

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{-x^7}{21}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+\frac{x}{3}$

Evaluar de $f(1) -f(0)$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - x^2}\int_{0}^{y} \frac{-1}{21}+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

La respuesta final es $\frac{16}{105}$