He estado estudiando el álgebra de Steenrod mod 2. Y trato de resolver algunos ejercicios de la misma.
Me pueden ayudar a comprobar esta prueba:
Dejemos que $SX$ denotan la suspensión de $X$ y que $S: \underline{H}^q(X) \rightarrow \underline{H}^{q+1}(SX)$ denotan el isomorfismo de suspensión. Entonces, a partir de la propiedad
Si $\delta: H^q(A) \rightarrow H^{q+1}(X,A)$ es el mapa de coordenadas, entonces $\delta \operatorname{Sq}^i = \operatorname{Sq}^i \delta$
Demostrar que $s \operatorname{Sq}^i = \operatorname{Sq}^i s$ .
Prueba de ello: Sea $CX$ y $C'X$ sean dos conos en $X$ . Entonces $SX = CX \cup C'X$ , donde $CX \cap C'X =X$ . El isomorfismo de suspensión está definido por el siguiente diagrama conmutativo de grupos de cohomología reducidos
$$\require{AMScd} \begin{CD} \underline{H}^q(X) @>s>> \underline{H}^{q+1}(SX) \\ @V{\cong}VV & @A{\cong}AA \\ \underline{H}^{q+1}(CX,X) @>{excisio}>> \underline{H}^{q+1}(SX,C'X) \end{CD}$$
Entonces, $s: \underline{H}^q(X) \rightarrow \underline{H}^{q+1}(CX,X) \cong \underline{H}^{q+1}(SX)$ Es fácil comprobar que $s$ es un mapa de coordenadas. Por lo tanto, aplicando a la propiedad, se demuestra la afirmación.
No estoy seguro del último argumento. ¿Puede ayudarme a comprobarlo?