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Demuestra que los cuadrados de Steenrod son estables

He estado estudiando el álgebra de Steenrod mod 2. Y trato de resolver algunos ejercicios de la misma.

Me pueden ayudar a comprobar esta prueba:

Dejemos que $SX$ denotan la suspensión de $X$ y que $S: \underline{H}^q(X) \rightarrow \underline{H}^{q+1}(SX)$ denotan el isomorfismo de suspensión. Entonces, a partir de la propiedad

Si $\delta: H^q(A) \rightarrow H^{q+1}(X,A)$ es el mapa de coordenadas, entonces $\delta \operatorname{Sq}^i = \operatorname{Sq}^i \delta$

Demostrar que $s \operatorname{Sq}^i = \operatorname{Sq}^i s$ .

Prueba de ello: Sea $CX$ y $C'X$ sean dos conos en $X$ . Entonces $SX = CX \cup C'X$ , donde $CX \cap C'X =X$ . El isomorfismo de suspensión está definido por el siguiente diagrama conmutativo de grupos de cohomología reducidos

$$\require{AMScd} \begin{CD} \underline{H}^q(X) @>s>> \underline{H}^{q+1}(SX) \\ @V{\cong}VV & @A{\cong}AA \\ \underline{H}^{q+1}(CX,X) @>{excisio}>> \underline{H}^{q+1}(SX,C'X) \end{CD}$$

Entonces, $s: \underline{H}^q(X) \rightarrow \underline{H}^{q+1}(CX,X) \cong \underline{H}^{q+1}(SX)$ Es fácil comprobar que $s$ es un mapa de coordenadas. Por lo tanto, aplicando a la propiedad, se demuestra la afirmación.

No estoy seguro del último argumento. ¿Puede ayudarme a comprobarlo?

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Lijo Puntos 118

Eso no es del todo correcto. $s$ no es directamente un mapa de fronteras. Sin embargo, sabes que las operaciones de cohomología son mapas naturales, por lo que también conmutan con mapas de la forma $f^* : H^i(X,A) \to H^i(Y,B)$ donde $f : (Y,B) \to (X,A)$ es un mapa de pares. Así que $\operatorname{Sq}^i$ se desplaza con:

  • el mapa de fronteras $H^q(X) \to H^{q+1}(CX,X)$ ;
  • $H^{q+1}(SX,C'X) \to H^{q+1}(CX, X)$ inducido por la inclusión $(CX,X) \subset (SX, C'X)$ ; por escisión esto es un isomorfismo por lo que se puede invertir, y si $\operatorname{Sq}^i f = f \operatorname{Sq}^i$ entonces $f^{-1} \operatorname{Sq}^i = \operatorname{Sq}^i f^{-1}$ ;
  • $H^{q+1}(SX,C'X) \to H^{q+1}(SX)$ inducido por la inclusión $(SX, \varnothing) \subset (SX, C'X)$ ;

así que $\operatorname{Sq}^i$ conmuta con el compuesto de los tres mapas, es decir $s : H^q(X) \to H^{q+1}(SX)$ .

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