Tengo una pregunta sobre el valor medio del producto por pares de 2 muestras ordenadas que se extraen de una variable aleatoria, $X$ que en este caso es gaussiana de media cero ( $X \sim N(0,\sigma_x) $ ).
Dejemos que $x_1, x_2, ... x_n$ sea $n$ muestras extraídas de la variable aleatoria $X$ . Pongamos estas muestras en orden ascendente, y llamemos al resultado: $x_{(1)}, x_{(2)}, ... x_{(n)}$ .
Hagamos lo mismo con una segunda muestra de $n$ elementos extraídos de $X$ . Los llamaremos $x'_{(1)}, x'_{(2)}, ... x'_{(n)}$
(Así que los dos conjuntos de muestras están cada uno, por separado, en orden ascendente)
Empíricamente, lo he notado:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_i^n x_{(i)}x'_{(i)} \rightarrow \sigma_x^2$$
Estoy tratando de probar este resultado. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? He estado buscando en la literatura para las estadísticas de orden, pero parece que no puedo llegar a una prueba hermética.
(Obsérvese que si no las hubiera ordenado, el producto por pares entre las dos muestras convergería obviamente a cero, ya que $X$ es de media cero: $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_i^n x_{i}x'_{i} \rightarrow 0$ )
(Hice esta pregunta intercambio de matemáticas, pero creo que es más adecuado para este stackexchange).
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Dada la media cero, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2$ converge a la verdadera varianza como $n \rightarrow \infty$ . Parece que cuantas más muestras se extraigan, más se acercará cada muestra de la primera lista ordenada a su compañera de la segunda lista ordenada: $|x_i - x_i'| \rightarrow 0$ Así que $x_i x_i' \rightarrow x_i^2$ . Tal vez esto podría explicar su observación. No he reflexionado lo suficiente sobre esto como para decir si su conjetura es cierta o no, pero tal vez esto podría ser un punto de partida.
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Si es cierto, una forma de demostrarlo podría ser observar la distribución de la $k$ estadística de orden para $n$ iid de una gaussiana de media cero. Demostrando (para todos los $k \in [1, n]$ ) que esta distribución se aproxima a una función delta (por ejemplo, que su varianza se aproxima a 0) como $n \rightarrow \infty$ implicaría que $|x_i - x_i'| \rightarrow 0$ .
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¡Gracias @user20160! Esto es muy útil. Estoy mirando la distribución de la $k$ de la estadística del orden. Lo es: $f_{(k)}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}f_X(x)(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}$ . He intentado integrar esto para encontrar la media y la varianza, pero no encuentro una forma cerrada de realizar esta integral. ¿Tenéis alguna sugerencia de cómo llevarla a cabo? Gracias.