Engorroso supuestos técnicos (por ejemplo, la mezcla de propiedades) son utilizados en la literatura para demostrar Teoremas del Límite Central para dependientes de las secuencias. Hice una prueba de que no requiere de ninguna de estas hipótesis técnicas. Me puede ayudar a averiguar lo que está mal con esta prueba? La prueba está en: http://www.statlect.com/central_limit_theorem_for_correlated_sequences.htm. Gracias de antemano a todos los que van a ser tan generoso y paciente para leer.
Respuesta
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Condiciones adicionales son necesarios. (Una cerca a prueba de este hecho es que muchos increíblemente inteligente de los individuos que han estado pensando profundamente acerca de estas cuestiones por más de 100 años. Es muy poco probable que algo así habría escapado de todos ellos.)
Primero de todo, tenga en cuenta que la fórmula para $V$ que es parte de la conclusión de los asociados teorema del límite central. Véase, por ejemplo, el Teorema 7.6 en las páginas 416-417 de R. Durrett, Probabilidad: Teoría y Ejemplos, 3er. ed., sobre la base de su enlace, que parecen tener acceso.
En cualquier caso, este es un contraejemplo a su reclamo.
Deje $X_0$ igual $+1$ con una probabilidad de $1/2$ $-1$ con una probabilidad de $1/2$. Definir $X_n = (-1)^n X_0$. A continuación, $\{X_n\}$ es estacionaria ergodic proceso con media 0 y varianza 1, pero el Teorema del Límite Central falla.
Las propiedades de estacionariedad y ergodicity debería ser bastante fácil ver como podemos construir este proceso mediante la definición de una función sobre los estados de los dos estados de la cadena de Markov con estacionaria probabilidad de medida $\pi(x) = 1/2$$x \in \{0,1\}$.
Observar que este proceso se obtiene una secuencia de la forma$-X_0, X_0, -X_0, \ldots$, por lo que
- Incluso sin recurrir a ninguna de las nociones acerca de ergodicity, es fácil ver que $\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\bar{X}_n \to \e X_0 = 0$ casi seguramente, y,
- $\newcommand{\Var}{\mathbb{V}\mathrm{ar}}\Var(S_n) = 0$ si $n$ es incluso y $1$ si $n$ es impar.
Esto ya es suficiente para concluir que no hay ninguna manera de que cualquier modificación de la escala de $S_n$ puede hacer que convergen en la distribución de una variable aleatoria normal. De hecho, para cada función de $f$ tal que $f(n) \to \infty$, $S_n / f(n) \to 0$ casi con toda seguridad, no importa lo lento que se $f$ diverge.
Tenga en cuenta también que en este ejemplo se debe aclarar que la fórmula para $V$ es una conclusión del teorema. De hecho, para el ejemplo anterior, $$ V_n = 1 + 2 \sum_{i = 1}^n \e X_0 X_i = \left\{ \begin{array}{rl} -1, & n \text{ odd}, \\ 1, & n \text{ even}, \end{array} \right. $$ lo cual, por supuesto, (a) no tiene ningún sentido como una desviación, (b) no tiene un límite, y (c) no es asintóticamente equivalente a $\Var(S_n)$. (NB: yo uso una forma ligeramente diferente para $V_n$ que hacer, donde mina coincide con la dada en Durrett.)
