Derivación de la función delta de Dirac de la función

Question

La función delta de Dirac tienen esta propiedad:
\begin{equation} \delta(f(x))=\textstyle \sum_i\frac{\delta(x-a_i)}{\lvert f^\prime(a_i)\rvert}. \end{equation} Y su derivación es: \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}g(x)\delta(f(x))&=&\sum_i\int_{a_i-\epsilon}^{a_i+\epsilon}g(x)\delta(f(x)),\qquad f(a_i)=0\cr &=&\sum_i\int_{f(a_i-\epsilon)}^{f(a_i+\epsilon)}g(f^{-1}(y))\delta(y)\frac{1}{\lvert f^\prime(f^{-1}(y))\rvert}dy,\qquad x=f^{-1}(y)\cr &=&\sum_i\frac{a_i}{\lvert f^\prime(a_i)\rvert}.\cr &&\therefore\ \delta(f(x))=\sum_i\frac{\delta(x-a_i)}{\lvert f^\prime(a_i)\rvert}. \end{eqnarray} Aquí están las preguntas:

1. Cómo acerca de si $f^\prime(a_i)$ es 0?
2. Creo $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\delta(f(x))=\sum_i g(a_i)$ debido a la función delta de Dirac $\delta(f(x))$ en LHS es cero en $a_i$, y por lo $\int\delta(x)f(x)\ dx$ es sólo $f(x)$. ¿Qué hay de malo con esto?

Answer 1

Si $f'(a_i) = 0$, entonces la sustitución de $x = f^{-1}(y)$ no es válido debido a que $f^{-1}$ no es diferenciable en a $a_i$.