El cálculo de $\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}e^{ibx}dx$

Question

En mi programa de estudios sobre la mecánica cuántica, afirman que la siguiente integral se puede calcular fácilmente:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}e^{ibx}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-b^2/4a}$$

si se sabe que

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}.$$

Esto no es, de hecho, que duro, si $a$ es real. Pero la usan en una derivación, donde $a$ tiene una parte imaginaria. Espero que alguien me puede mostrar, cómo esto también es válido cuando se $a$ $b$ son complejos. (Si es necesario se puede asumir que se sabe que la integral es válido para $a$ real y $b$ complejo, porque puedo demostrar que ya).

Answer 1

Vamos

$$f(z, w) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-zx^2} e^{iwx} \, dx. $$

Está claro que la integral converge si $z$ $w$ son números complejos tales que $\Re z > 0$. También es posible demostrar que en esta región $f(z, w)$ realmente define a una analítica de la función. Por último, también sabemos que para $z > 0$ $w \in \Bbb{R}$ hemos

$$ f(z, w) = \sqrt{\frac{\pi}{z}} e^{-w^2 / 4z}. \tag{1}$$

Desde el lado de la derecha de $(1)$ también define una analítica de la función en $\Re z > 0$, en vista de la identidad teorema, nos encontramos con que $(1)$ en realidad vale para cualquier $\Re z > 0$$w \in \Bbb{C}$.

Answer 2

Supongamos que $a$ es real y $b=c+id$ es complejo. Vamos a por otra parte supongamos $a>0$. Entonces podemos escribir el integrando como

$$e^{-ax^2}e^{ibx}=e^{-ax^2}e^{i(c+id)x}=e^{-(ax^2+dx)}e^{icx}= e^{\frac{d^2}{4}}e^{-(\sqrt{a}x + \frac{d}{2\sqrt{a}})^2}e^{icx}$$ A continuación, puede sustituir a $y=\sqrt{a}x + \frac{d}{2\sqrt{a}}$.