$\int_a^b |f|=0\implies f=0$

Question

Dejemos que $f:[a,b]\to\mathbb R$ continua. Quiero demostrar que $\int_a^b |f|=0\implies f=0$ . Por contradicción, supongamos $f\neq 0$ y denota $A=\{x\mid f(x)\neq 0\}$ . Tenemos que $$0=\int_{[a,b]}|f|=\int_{[a,b]\backslash A}|f|+\int_A|f|\implies \underbrace{\int_{[a,b]\backslash A}|f|}_{\geq 0}=\underbrace{-\int_A|f|}_{\leq 0},$$ que es una contradicción. Por lo tanto, $|f|=0$ y por lo tanto $f=0$ .

¿Es correcto? (el problema es que no he utilizado la continuidad, y sé que para una función no continua, podemos tener $\int_a^b|f|=0$ y $f\neq 0$ ) . ¿Tiene otras pruebas?

Answer 1

No has invocado la continuidad en ninguna parte. Un contraejemplo para tu prueba es un $f$ que toma el valor $1$ en un único punto y es cero en el resto.

Pista: muestra el contrapositivo. Si $f \ne 0$ , entonces hay un punto $x_0$ tal que $f(x_0) \ne 0$ . Por continuidad de $f$ hay una vecindad de $x_0$ que es mapeado por $|f|$ a valores estrictamente positivos. Entonces, ¿qué dice eso de $\int_a^b |f|$ ?

Answer 2

El problema con su prueba es que aunque $$\int_{[a,b]\setminus A}|f(y)|\,\mathrm dy=0$$ por la definición de $A$ la cantidad $$\int_{A}|f(y)|\,\mathrm dy=0$$ puede también desaparecen si el conjunto $A$ tiene medida cero para una función medible genérica $f$ A pesar del hecho de que $|f|$ es estrictamente positivo en $A$ .

Sin embargo, para continuo (cuya suposición admite que nunca ha utilizado), si $A$  es no vacía, entonces realmente tiene medida positiva, porque si $|f(x)|$ es positivo para algunos $x\in[a,b]$ entonces la continuidad le obliga a ser también positiva en un intervalo no degenerado suficientemente pequeño que contenga $x$ , cuyo intervalo tiene medida positiva. En este caso, sí se llega a la contradicción deseada.

---

Formalmente, supongamos, en aras de la contradicción, que $f(x)\neq 0$ para algunos $x\in[a,b]$ . Sea $\varepsilon\equiv|f(x)|/2>0$ Desde $|f|$  es continua en $x$ existe alguna $\delta>0$ de manera que si $$y\in[a,b]\text{ and }|y-x|<\delta\Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon.$$ Pero entonces $$2\varepsilon=|f(x)|\leq|f(x)-f(y)|+|f(y)|<\varepsilon+|f(y)|,$$ para que $|f(y)|>\varepsilon$ siempre que $y\in[a,b]\cap(x-\delta,x+\delta)$ . Por lo tanto, $$\int_{a}^{b}|f(y)|\,\mathrm dy\geq\int_{\max\{x-\delta,a\}}^{\min\{x+\delta,b\}}|f(y)|\mathrm dy\geq\big(\min\{x+\delta,b\}-\max\{x-\delta,a\}\big)\varepsilon\geq\min\{\delta,b-a\}\varepsilon>0,$$ que es una contradicción.

---

La penúltima desigualdad de la última fórmula se deriva del hecho de que la cantidad $$\big(\min\{x+\delta,b\}-\max\{x-\delta,a\}\big)$$  puede tomar como máximo cuatro valores diferentes:

• $(x+\delta)-(x-\delta)=2\delta>\delta$ ;
• $(x+\delta)-a\geq(a+\delta)-a=\delta$ ;
• $b-(x-\delta)=b-x+\delta\geq b-b+\delta=\delta$ o
• $b-a$ ,

todos los cuales son mayores o iguales a $\min\{\delta,b-a\}>0$ .

---

Los tediosos tejemanejes con los mínimos y máximos son necesarios porque el intervalo $(x-\delta,x+\delta)$ puede extenderse más allá de los límites del intervalo $[a,b]$ Por ejemplo, si $x=a$ o $x=b$ . Entonces, hay que "recortar" el intervalo $(x-\delta,x+\delta)$ e integrar sólo en el segmento que cae en $[a,b]$ .

Answer 3

Su prueba NO es correcta. La continuidad es importante. Tienes que dejar que $f\neq 0$ en algún momento $x_0$ Utilizar la continuidad para delimitar $f(x)$ por encima del $x$ eje para alguna vecindad, y utilizar un teorema de comparación.