Una función cuyo (doblemente) infinita suma sea igual a su integral

Question

Una de mis funciones favoritas es $S(x)=\frac{\sin(x)}{x},$ donde pongamos $S(0)=1$ (la extensión continua). Esta función resuelve el Problema de Basilea - con algunos de los supuestos - y hace otras cosas interesantes.

Me di cuenta de que tiene la siguiente propiedad:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}S(n)=\int_{-\infty}^{\infty} S(x)dx=\pi.$$

Usted puede probar la LHS, usando series de Fourier y puede demostrar que los RHS usando el Teorema de los Residuos, o una persona muy inteligente transformación (no se como enlace, pero es una pregunta muy común en este sitio).

Mi pregunta: ¿hay otras que no son triviales funciones con esta propiedad? Es decir, ¿cómo puedo encontrar otras funciones $f$ tal que $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx\;?$$

Answer 1

Si $g$ $h$ son funciones tales que estas sumas e integrales existen, dicen $\sum_n g(n) = a$, $\sum_n h(n) = b$, $\int g(x)\; dx = c$, $\int h(x)\; dx = d$, pero $a \ne c$$b \ne d$, entonces usted puede intentar combinaciones lineales $f(x) = s g(x) + t h(x)$.
Esto satisface su ecuación si $s a + t b = s c + t d$, es decir, $$\frac{s}{t} = \frac{d-b}{a-c}$$

Answer 2

$S(ax)$ funciona para cualquier $a$. Así que cualquiera de sus combinaciones lineales. Usted puede agregar alguna extraña funciones de curso.

He comprobado para las funciones de la forma $exp(-a x^2)$, pero la integral es siempre mayor que la suma. Algo interesante por aquí, especialmente en lo $a \searrow 0$.

Me pregunto ¿qué sucede para las funciones de la forma $exp(- a t^2 + b t)$, con $a$, $b$ complejo, $a$ parte real positiva. Las sumas son "theta de la serie", y las integrales son fáciles. Usted podría tener algunas igualdades allí.