la prueba de una afirmación sobre la ecuación de Diophantine $ax^2-by^2=c^2$

Question

El Diophantine ecuación de la forma a$x^2$ – b$y^2$ = $c^2$ con ab no es un cuadrado perfecto en Z tiene infinitamente soluciones en N, proporcionada por un particular no trivial de la solución en el conjunto de N.

He devanaba los sesos tratando de pensar qué ab no es un cuadrado perfecto debe invalidar la prueba, pero no puede pensar por qué. Tengo muchos libros sobre la teoría de los números, pero ninguno tiene una ecuación como esta.

Si alguno me puede ayudar en este aspecto...estoy muy agradecido a ellos.

Answer 1

La opción de tener $c^2$ en el lado derecho es irrelevante, cualquier número distinto de cero da a las mismas conclusiones.

Deje $$ g = \gcd(a,b). $$ Por factorización única, con $$ \gcd \left( \frac{a}{g}, \frac{b}{g} \right) = 1, $$ el producto que va a ser un cuadrado da $$ a = g \alpha^2, \; \; b = g \beta^2, $$ and let us take $g, \alpha, \beta > 0.$ Así que la ecuación se convierte en $$ c^2 = a x^2 - b y^2 = g (\alpha^2 x^2 - \beta^2 y^2) = g (\alpha x - \beta y) (\alpha x + \beta y). $$ Ahora, cualquiera de las $\alpha x, \; \beta y$ tienen el mismo signo o contrario. Con $c \neq 0$, se consigue obtener un factor de al menos $1$ en valor absoluto, entonces $$ |\alpha x| + | \beta y| \leq \frac{c^2}{g}, $$ lo $$ | x| \leq \frac{c^2}{g \alpha} $$ y $$ | y| \leq \frac{c^2}{g \beta}, $$ dando la finitud del conjunto de soluciones.

MIENTRAS tanto, si $ab$ no es un cuadrado perfecto, hay infinitamente muchas soluciones a la ecuación de Pell $$ u^2 - a b v^2 = 1. $$ Esto hace infinitamente muchas soluciones diferentes, si hay alguna, porque $$ a (ux + b v y)^2 - b (avx + uy)^2 = a x^2 - b y^2. $$

Answer 2

No estoy seguro de que lo que están pidiendo. Si usted está pidiendo un ejemplo en donde la $ab$ es un cuadrado perfecto y la ecuación no tiene soluciones infinitas, tal vez el ejemplo más sencillo es el con $a=b=1$.