Encontrar el máximo de $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$

Question

Si $a,b,c,d$ son distinto números reales tales que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$ y $ac=bd$ .

Entonces, ¿cómo podríamos calcular el valor máximo de $$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{b}.$$

No pude proceder debido a la "distinto .

Answer 1

Como ambas condiciones y la expresión a maximizar son homogéneas, podemos WLOG suponer $|abcd|=1$ . (Si $|abcd|=k$ , entonces sustituye $a, b, c, d$ con $\frac{a}{\sqrt[4]{k}}, \frac{b}{\sqrt[4]{k}}, \frac{c}{\sqrt[4]{k}}, \frac{d}{\sqrt[4]{k}}$ ) Por lo tanto $1=|abcd|=|ac||bd|=|ac|^2$ Así que $ac=bd=\pm 1$ .

Desde $ac=bd$ , $\frac{c}{d}=\frac{b}{a}$ y $\frac{d}{a}=\frac{c}{b}$ . Tenemos $$0=(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{d}{a}-2)=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2)=\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(b-c)^2}{bc}$$

Así, $0=c(a-b)^2+a(b-c)^2$ Así que $0=ac(a-b)^2+a^2(b-c)^2=ac(a-b)^2+(ab-ac)^2$ . Si $ac=1$ entonces $0=(a-b)^2+(ab-1)^2$ así que $a=b$ , contradiciendo el hecho de que $a, b, c, d$ son distintos.

Por lo tanto, $ac=-1=bd$ Así que $0=-(a-b)^2+(ab+1)^2$ Así que $ab+1=\pm (a-b)$ .

La expresión que hay que maximizar se convierte en $$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=\frac{a^2+c^2}{ac}+\frac{b^2+d^2}{bd}=-(a^2+b^2+c^2+d^2)=-(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$$

Obsérvese que esta expresión es simétrica con respecto a $a, b$ por lo que podemos WLOG suponer que $a-b$ tiene el mismo signo que $ab+1$ Así que $a-b=ab+1$ , dando $(a+1)(b-1)=-2$ Así que $b=1-\frac{2}{a+1}=\frac{a-1}{a+1}$ . Ahora basta con maximizar la expresión

$$-(a^2+\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2})$$

De hecho, demostraré que esta expresión tiene un valor máximo $-12$ . De hecho,

\begin{align} & -(a^2+\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}) \leq -12 \\ \Leftrightarrow & a^2+\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2} \geq 12 \\ \Leftrightarrow & (a^2-12)(a^2)(a+1)^2(a-1)^2+(a-1)^4a^2+(a+1)^2(a-1)^2+(a+1)^4a^2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow & (a^2-2a-1)^2(a^2+2a-1)^2 \geq 0 \end{align}

La última desigualdad es obviamente cierta. Ahora, tenemos la igualdad cuando $a=1+\sqrt{2}, b=-1+\sqrt{2}, c=1-\sqrt{2}, d=-1-\sqrt{2}$ . Por lo tanto, el valor máximo es $-12$ .

Editar: En mi respuesta anterior, da la impresión de que $-12$ apareció mágicamente. A continuación, expondré la motivación para obtener este valor. Nótese que lo que sigue no es necesariamente riguroso.

Motivación

Supongamos que el valor máximo es $-c$ . (Obsérvese que el valor máximo es negativo, de ahí el uso de $-c$ en lugar de $c$ ya que prefiero trabajar con positivos $c$ ) Pongamos esto en la ecuación.

\begin{align} & -(a^2+\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}) \leq -c \\ \Leftrightarrow & a^2+\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2} \geq c \\ \Leftrightarrow & (a^2-c)(a^2)(a+1)^2(a-1)^2+(a-1)^4a^2+(a+1)^2(a-1)^2+(a+1)^4a^2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow & a^8-ca^6+(14+2c)a^4-ca^2+1 \geq 0 \end{align}

Intuitivamente, sabemos que si $a$ es una raíz del polinomio de grado 8, $b, c, d$ deben ser también raíces. Además, querríamos que el polinomio se factorizara como un cuadrado de un polinomio, de modo que sea claramente siempre no negativo. Por tanto, el polinomio debe tener 4 raíces distintas, cada una con multiplicidad $2$ .

Pongamos $a^8-ca^6+(14+2c)a^4-ca^2+1=(a^4+pa^2+q)^2$ (Es intuitivo que podemos ignorar todos los términos con grado impar) Comparando el coeficiente de $a^6$ da $p=-\frac{c}{2}$ y comparando el coeficiente de $a^2$ da $-c=2pq=-cq$ Así que $q=1$ . Comparando el coeficiente de $a^4$ da $14+2c=p^2+2q=\frac{c^2}{4}+2$ Así que $0=c^2-8c-48=(c-12)(c+4)$ . Queremos $c$ para ser positivo, así que vamos a elegir $c=12$ .

Ahora, ya hemos hecho parte de la factorización: $a^8-12a^6+38a^4-12a^2+1=(a^4-6a^2+1)^2$ . De hecho, en este punto, ya podemos demostrar que $-12$ es efectivamente un límite superior. Sin embargo, también queremos encontrar un caso de igualdad, para confirmar que el máximo es realmente alcanzable. Para ello, completamos la factorización, observando que $a^4-6a^2+1=(a^2-1)^2-4a^2=(a^2-2a-1)(a^2+2a-1)$ . Esto lleva fácilmente al caso de igualdad $a=1+\sqrt{2}, b=-1+\sqrt{2}, c=1-\sqrt{2}, d=-1-\sqrt{2}$ (único hasta el ciclismo de los elementos)

Answer 2

Dejemos que $w=\frac{a}{b}$ , $x=\frac{b}{c}$ , $y=\frac{c}{d}$ , $z=\frac{d}{a}$ . Entonces $$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=wx+xy+yz+zw=(x+z)(w+y)\leqslant\Bigl(\frac{w+x+y+z}{2}\Bigr)^2$$

Answer 3

Sustituyendo $d=\frac{ac}{b}$ la restricción se convierte en $$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)=4$$ mientras que la función a maximizar se convierte en $$\frac{a}{c}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c}{a}+\frac{ac}{b^2}=\frac{b}{c}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{c}{b}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac bc+\frac cb\right).$$ Ahora, ponte $$x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\qquad \mathrm{and}\qquad y=\frac bc+\frac cb$$ para que $x+y=4$ y queremos maximizar $xy$ . Obsérvese que si $x$ es positivo, entonces $a$ y $b$ tienen el mismo signo y por lo tanto $$x=\frac ab+\frac ba=\frac{(a-b)^2}{ab}+2>2$$ porque $a$ y $b$ son distintos. Lo mismo ocurre claramente con $y$ .

Pero entonces $x$ y $y$ deben tener signos opuestos: no pueden ser ambos negativos porque $x+y=4$ y no pueden ser ambos positivos porque la suma sería estrictamente mayor que $4$ . Supongamos, por ejemplo, que $x<0$ entonces $$x=\frac ab+\frac ba=\frac{(a+b)^2}{ab}-2\leq -2$$ porque $a$ y $b$ tienen signos opuestos. Por lo tanto, $y=4-x\geq 6$ lo que implica $xy\leq -12$ . Poner wlog $b=1$ y resolviendo los casos de igualdad obtenemos las ecuaciones $$a+\frac 1a=-2\qquad\mathrm{and}\qquad c+\frac1c=6$$ que tienen solución, por lo que el límite superior $-12$ se consigue.