¿Por qué son Noetherian Anillos importante?

Question

Sé que son importantes en el álgebra abstracta, pero ¿por qué la gente de estudio? Por qué son tan importantes para el estudio? Hacen ciertas cosas más fáciles de entender?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta (que también he preguntado en varias ocasiones) también podría ser un "No". Tal vez Noetherian anillos no es tan importante después de todo, y su supuesta ubicuidad es un meme en conmutativa algebraicas de la literatura?

Permítanme citar un párrafo del Prólogo de la (hasta ahora inconclusa) traducción de álgebra Conmutativa -- métodos Constructivos por Enrique Lombardi y Claude Quitté (la versión francesa, Algèbre Conmutativa, Méthodes constructives, está disponible a partir de Calvage & Mounet, y algunas adiciones se pueden encontrar en http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html ). Espero que los autores no les importa esto.

Por último, vamos a mencionar dos extraordinarias características de este trabajo en comparación con las clásicas trabajos en álgebra conmutativa.

La primera es que han dejado Noetherianity en el asiento trasero. Experiencia muestra que, de hecho, Noetherianity es a menudo demasiado fuerte una suposición, que se esconde la verdadera algorítmica de la naturaleza de las cosas. Por ejemplo, un teorema por lo general indicado para Noetherian anillos y finitely módulos generados, cuando su prueba es examinado para extraer un algoritmo, que resulta ser un teorema sobre la coherente anillos y finitely presentado módulos. La costumbre es el teorema de pero un corolario del derecho teorema, pero con dos argumentos no constructiva lo que permite deducir la coherencia y finito presentación de Noetherianity y generación finita en el clásico de las matemáticas. Una prueba en la más satisfactoria marco de coherencia y finitely presentado módulos es a menudo ya publicado en artículos de investigación, aunque rara vez de manera totalmente constructiva la forma, sino "el derecho a la instrucción" es generalmente falta en las obras de referencia.

Yo sin duda avala esta postura como constructivista, como no conmutativa algebrista y como combinatorialist. (La mayoría de las ventajas del concepto de Noetherianity se desmoronan en polvo cuando uno cruza los límites de álgebra conmutativa en cualquier dirección.)

Answer 2

El anillo de los enteros, los dominios de Dedekind, y un anfitrión de otros anillos de la teoría de los números ideales y la teoría que se Noetherian todas las pruebas que simplemente se muestran "en la naturaleza" mucho.

Algebraica de los geómetras atención de una gran cantidad de información acerca de polinomio anillos de $\Bbb F[x_1,\dots x_n]$ sobre los campos, que son Noetherian. En un buen caso como $\Bbb F=\Bbb C$, el resultado de la conexión entre el Noetherianness de el anillo y la Noetherianness de topologías sobre variedades algebraicas permite la descomposición de las variedades. Usted también puede estar familiarizado con el principal de la descomposición, lo cual es posible en Noetherian anillos.

Noetherianness está también muy bien estables a lo largo de un montón de anillo de construcciones. Para un conmutativa Noetherian anillo de $R$:

• $R[X]$ $R[[X]]$ son Noetherian
• la localización de la $R_S$ a un conjunto multiplicativo $S$ es Noetherian
• el $I$-ádico de la finalización de $R$ a un ideal de a $I$ es Noetherian

Ninguno de los dos primeros funcionan muy bien para Artinian anillos. $F[x]$ no es Artinian en todo a pesar de $F$, y la localización no funciona porque en Artinian anillos sólo tiene unidades y divisores de cero: divisores de cero no son buenos para multiplicativo conjuntos, unidades y ya están invertible.

Noetherianness también se puede aplicar también a los dominios. Muchos conmutativa Noetherian dominios son de interés en la teoría de números y el ideal de la teoría, pero la gente que estudio Artinian dominios se llama "campo de los teóricos" por razones obvias.

Otra cosa es que conmutativa Noetherian anillos tienen el DCC en el primer ideales. Conmutativa artinian anillos son mucho más restrictiva: el primer ideales son todas máxima.

No conmutativa Noetherian anillos también son interesantes, pero yo no creo que pueda hacer justicia a ellos aquí. Yo recomendaría Goodearl y Warfield es Una introducción para no conmutativa Noetherian anillos para una impresionante cuenta de aquellos.

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Una última relación distante: recuerdo que me impactó cuando alguien menciona por primera vez "el axioma de regularidad implica que la pertenencia es un Noetherian relación." En ese momento, empecé a pensar que el Noetherian condición es realmente algo especial.

Answer 3

Bien noetherian anillos tienen una propiedad especial llamada la una.c.c. Estoy seguro de que usted ya lo sabe, pero una vez que esta propiedad ha sido establecida puede suponer un montón de cosas acerca de los anillos. También ellos hacen las cosas más fáciles de entender e incluso de responder cuando se utiliza noetherian anillos. Una gran razón por la que es importante, que si R es noetherian la R[X] es también noetherian que, a continuación, nos ayuda a ver de que cualquier conjunto infinito de ecuaciones polinómicas puede ser asociada a un conjunto finito de ecuaciones polinómicas, precisamente, con el mismo conjunto de soluciones de (el conjunto solución de una colección de polinomios en n variables es generalmente un objeto geométrico (como la de una curva o de una superficie) en el n-espacio).

Answer 4

Debido a que la mayoría de los "interesantes" anillos de llegar a ser Noetherian.

El concepto de Noetherian, supongo, es simplemente una abstracción de una prueba técnica que se utiliza en muchos de los familiares de los anillos.