Preguntas acerca de la $g(x)= \inf_{h \in \mathbb{R}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Question

Tengo varias pregunta acerca de las siguientes funciones \begin{align} g_1(x)= \inf_{h \in \mathbb{R}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ g_2(x)= \inf_{h \in \mathbb{R}} \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right| \end{align}

Tenga en cuenta que si $f$ es diferenciable en a $x$ \begin{align} g_1(x) \le f^\prime(x). \end{align}

1. Do $g_1(x)$ $g_2(x)$ tienen nombres?
2. Do $g_1(x)$ $g_2(x)$ tienen las aplicaciones?
3. ¿Qué es necesario para $g_1(x)=f^\prime(x)$ para un determinado $x$?
4. ¿Hay mejor banda en $g_1(x)$$g_1(x) \le f^\prime(x)$?

Answer 1

No estoy completamente seguro acerca de las dos primeras preguntas, pero cuando se trata de la pregunta tres, tiene la siguiente condición:

Dado que algunos fija $x_0 \in \mathbb{R}$, tenemos que:

• $g_1(x_0) = f'(x_0) \iff \inf_{h \in \mathbb{R}} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$
• $g_1(x_0) = f'(x_0) \iff \forall h \in \mathbb{R}, \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq f'(x_0)$
• $g_1(x_0) = f'(x_0) \iff \forall h \in \mathbb{R}, f(x_0+h) \geq f(x_0) + f'(x_0)h$
• $g_1(x_0) = f'(x_0) \iff \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(h-x)$

La mejor manera de ver esto con una imagen, sino $f$ ser diferenciable en a $x_0$ es equivalente a que exista un mejor ajuste lineal de la ecuación de $f$$x_0$. Por cierto esta mejor ajuste lineal de la ecuación es siempre

$L_{f,x_0} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $L_{f,x_0}(x) = f(x_0) + f'(x_0) (h-x)$

Entonces, en otras palabras, la igualdad de $g_1(x_0) = f'(x_0)$ mantiene si y sólo si el mejor ajuste lineal de la ecuación de $L_{f,x_0}$ constituye un límite inferior para $f$ ($f \geq L_{f,x_0}$).

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Otra manera de pensar acerca de esto sería gráficamente. Si se va a trazar los gráficos de $y = f(x)$$y = L_{f,x_0}(x)$, entonces la igualdad se mantenga, si y sólo si la gráfica de $f$ se mantiene por encima (o tocar) $L_{f,x_0}$, en todos los tiempos. Véase el siguiente ejemplo:

Como usted debe ser capaz de ver en el ejemplo de arriba - la igualdad de $g_1(x) = f'(x)$ mantendrá para todas las $x \in \mathbb{R}$, debido a $f$ va a estar siempre por encima del mejor ajuste lineal, no importa qué punto usted eligió.

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Como para su cuarto de preguntas generales de funciones diferenciables, nunca habrá un mejor vinculados a $g_1(x) \leq f'(x)$. Tomando la función de $f_c(x) = cx$ da un ejemplo simple donde $g(x) = f_c'(x)$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, $g_1$ no puede ser inferior a $f'$ general para funciones diferenciables.

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EDIT: también debo destacar que $L_{f,x_0}$ es un límite inferior para $f$ es el ÚNICO requisito para $g(x_0) = f'(x_0)$. Tome esta muy crudo Microsoft Paint dibujo como un ejemplo de un loco función que todavía obedece a la igualdad:

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ADEMÁS EDIT: También aunque creo que no hay nombres para las funciones específicas que le dio, que son similares a las "límite superior" y "límite inferior" de las funciones. Tienen una aplicación práctica en que siempre existen (incluso si una función es diferenciable), y si:

$\inf_{h \in (x_0-r, x_0+r)} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \sim \sup_{h \in (x_0-r, x_0+r)} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ $r \to 0$

entonces esto demuestra que $f$ es diferenciable en a$x_0$,$f'(x_0) = \lim_{r \to 0} \inf_{h \in (x_0-r, x_0+r)} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.