La reordenación de un condicionalmente convergente la serie

Question

Tengo la serie $$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln(2),$$ y quiero reordenar a $$\sum_{n=1}^\infty\frac{8n-3}{2n(4n-3)(4n-1)}.$$ Si escribimos los términos de la primera serie obtenemos $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+...$,
si agrupamos a cada conjunto de tres términos sucesivos llegamos $\frac{1}{6}+\frac{13}{140}+\frac{7}{198}+...$

1 ¿Cómo puedo demostrar que esto es igual que el segundo de la serie?
2 ¿Cómo puedo demostrar que la segunda serie no puede tener los valores de $\ln(2)$?

Yo estaba pensando acerca del uso de fracciones parciales para el primero, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Ellos no son Iguales

El uso de Fracciones Parciales, se obtiene $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{8n-3}{2n(4n-3)(4n-1)} =\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{4n-3}+\frac1{4n-1}-\frac1{2n}\right)\etiqueta{1} $$ La primera serie es $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n =\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{4n-3}+\frac1{4n-1}-\frac1{4n}-\frac1{4n-2}\right)\etiqueta{2} $$ La diferencia es $$ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{4n-2}-\frac1{4n}\right) =\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, parece que el $(1)$ es igual a$\frac32$$(2)$.

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La reordenación de la Serie

La de Riemann de la Serie Teorema dice que podemos reordenar los términos de cualquier condicionalmente convergente serie de modo que la suma de cualquier número real deseamos. Es decir, podemos reordenar los términos de $(2)$ conseguir $(1)$.

Es decir, todos los términos en $(2)$ aparecen en $(1)$, pero las condiciones son sólo retrasa, el mayor indexado términos se retrasan más.