Puede que el número de cambios de signo en la secuencia de los factores determinantes que nos diga cómo muchas negativas de los autovalores de una matriz simétrica tiene?

Question

De notas, he reunido que dada una matriz simétrica, el número de cambios de signo en su polinomio característico es igual al número de positivos los autovalores de a $A$.

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Prueba: Vamos a $p(x)$ ser un verdadero polinomio cuyas raíces son reales. Por Descarte de la regla, el número de $\sigma$ positiva de los autovalores es limitado por el número de cambios de signo en $p(x)$. Del mismo modo, el número de $\sigma'$ de autovalores negativos está limitada por el número de cambios de signo en $p(−x)$. Por lo tanto el número total de positivos y negativos autovalores está delimitado por $\sigma+\sigma'$ $\sigma + \sigma' \leq n$ y el hecho de que todos los autovalores de una simétrica real de la matriz son reales implica que la cota de Descarte de la regla de los signos tiene con la igualdad.

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¿Cómo puedo usar esta prueba para demostrar que el signo de los cambios en una cierta secuencia de los factores determinantes que nos dice cuántos negativos autovalores $A$ tiene?

Answer 1

Creo que hay dos declaraciones verdaderas aquí:

(1) Si $A$ $n \times n$ real simétrica la matriz, y $A_k$ denota su $k \times k$ esquina superior izquierda, luego el número de autovalores negativos de $A$ es el número de cambios de signo en la secuencia de $(1, \det A_1, \det A_2, \ldots, \det A_n)$.

(2) Si $\det (A+z \mathrm{Id}) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + z^n$, entonces el número de autovalores negativos de $A$ es el número de cambios de signo en la secuencia de $(a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1)$.

La primera afirmación se demostró en tu otra pregunta; la segunda es demostrado por Descartes como usted dice, creo que no hay ninguna manera fácil de obtener de uno a otro.

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He estado pensando sobre esto más, y que existe una relación entre las dos preguntas. Deje $\bigwedge\nolimits^k A$ $\binom{n}{k} \times \binom{n}{k}$ matriz que describe la acción de $A$$\bigwedge\nolimits^k \mathbb{R}^n$. Tanto el determinante de a $A_k$ e las $k$-ésimo coeficiente del polinomio característico son funciones lineales de $\bigwedge\nolimits^k A$. Sería genial tener algún teorema general sobre las secuencias $f_1$, $f_2$, ..., $f_n$ donde $f_k$ es un funcional lineal en $\mathrm{End}(\bigwedge\nolimits^k \mathbb{R}^n)$, de modo que el signo de los cambios de $f_k(\bigwedge\nolimits^k A)$ calcular la firma.