Prueba: $\sum\limits_{r=0}^{\infty}{n\choose t+rs}=\frac1s\sum\limits_{j=0}^{s-1} \left(2\cos\frac{\pi j}2\right)^n\cos\frac{\pi j(n-2t)}s$

Question

En algún lugar de Internet (no recuerdo dónde) encontré la extraña identidad

Para $s,t\in\Bbb Z,\quad 0\leq t $$\sum_{r\geq0}{n\choose t+rs}=\frac1s\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}2\right)^n\cos\frac{\pi j(n-2t)}s$$ Aunque no conozco las restricciones sobre $n$, sospecho que $n\in\Bbb N$.

Estoy intentando demostrar esta curiosa identidad. Comienzo definiendo $$F(n;t,s)=\sum_{r\geq0}{n\choose t+rs}$$ Pensé que podríamos usar la integral dada en el Sitio de funciones de Wolfram: $${n\choose k}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikx}(1+e^{ix})^{n}dx$$ Pero no estoy seguro de si sería válido intercambiar los signos de suma e integral. Además de eso, pensé que podría usar mi truco habitual de representar el binomial como una integral beta, pero no logro hacerlo en este caso. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Las raíces $s$-ésimas de la unidad $\omega_j=\exp\left(\frac{2\pi ij}{s}\right), 0\leq j tienen la propiedad de filtrar elementos. Para $s>0$ obtenemos \begin{align*} \frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\exp\left(\frac{2\pi ij n}{s}\right)= \begin{cases} 1&\qquad s\mid n\\ 0& \qquad \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}

Podemos usarlo para la _multisección en series de $f(z)=\sum_{r=0}^\infty a_rz^r$ para obtener \begin{align*} \sum_{r=0}^\infty a_{t+rs}z^{t+rs}=\frac{1}{s}\sum\{j=0}^{s-1}\omega_j^{-t}f(\omega_jz)\qquad s,t\in\mathbb{Z}, s>0, t\geq 0\tag{1} \end{align*}

Aplicamos (1) a $f(z)=(1+z)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}z^r$ y obtenemos estableciendo $z=1$ \begin{align*} \color{blue}{\sum_{r=0}^n}\color{blue}{\binom{n}{t+rs}}& =\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\omega_j^{-t}(1+\omega_j)^n\\ &=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\exp\left(-\frac{2i\pi jt}{s}\right)\left(1+\exp\left(\frac{2i\pi j}{s}\right)\right)^n\\ &=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\exp\left(\frac{i\pi j (n-2t)}{s}\right) \left(\exp\left(-\frac{i\pi j}{s}\right)+\exp\left(\frac{i\pi j}{s}\right)\right)^n\tag{2}\\ &=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(\cos\left(\frac{\pi j (n-2t)}{s}\right)+i\sin\left(\frac{\pi j(n-2t)}{s}\right)\right)\\ &\qquad \cdot\left(2\cos\left(\frac{\pi j}{s}\right)\right)^n\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\left(\frac{\pi j}{s}\right)\right)^n\cos\left(\frac{\pi j(n-2t)}{s}\right)}\tag{4} \end{align*} y se sigue la afirmación.

Comentario:

• En (2) factorizamos $\exp\left(\frac{\pi nj}{s}\right)$.

• En (3) usamos las identidades $e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z)$ y $\cos(z)=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)$.

• En (4) omitimos la parte imaginaria (que es cero), ya que sabemos que el resultado es de valores reales.