Límite de solución de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias como $t\to \infty$

Question

Estoy completamente atascado en el siguiente problema:

Considere el sistema lineal: $x'(t)=A(t)x(t)$ donde $A(t)$ $n$ $n$ matriz. Suponga que $\lim_{t\to \infty}A(t)=B$. Suponga que cada autovalor de a $B$ tiene parte real estrictamente negativa. Deje $y(t)$ ser una solución para el sistema lineal. ¿Alguien cómo mostrar: $\lim_{t\to \infty}|y(t)|=0$

Sé que si $y(t)$ es una solución para el sistema lineal y todos los autovalores de a $A$ tienen estrictamente negativo de piezas reales, a continuación,$y(t)\to 0$$t\to \infty$. Sin embargo, esto es cierto cuando se $A$ es independiente de $t$. El problema para este problema es que el $A$ es dependiente de $t$, y es la limitación de la matriz $B$ que tiene valores propios estrictamente negativo de piezas reales. No sé cómo abordar este problema. Gracias a cualquiera que me ayude a salir!

Answer 1

Autovalores dependen continuamente en la matriz, por lo que su condición que $\lim_{t \to \infty} A(t)$ existe y las partes reales de los autovalores son todos negativos, esto indica que hay algunos $t_0$, de modo que si $t>t_0$, entonces la matriz $A(t)$ tiene los autovalores con todos los negativos de las piezas. Por otra parte, hay algún número negativo $\kappa$, de modo que las partes reales de los autovalores de a $A(t)$ son de menos de $\kappa$ todos los $t > t_0$.

A partir de aquí la prueba es muy similar a la del caso en que la matriz $A$ es constante, por ejemplo, el argumento de la Hubbard y el Oeste de libros de texto (TAM 18, Teorema de 7.6.1) generaliza inmediatamente.

La idea clave es encontrar un positivo-definida Hermitian métrica ( $\cdot$ )$\mathbb C^n$, de modo que $Re(A(t)v \cdot v) \leq \kappa v \cdot v$ todos los $t \geq t_0$ y todos los $v$, e $\kappa$ es algún número real negativo. Hay muchas formas de hacerlo, una es utilizar el sistema de coordenadas que pone a $A(\infty)$ en Jordania formulario, debidamente re-escala la mayor orden de los vectores propios para ser lo suficientemente corto. A continuación, utilizar el estándar de Hermitian métrica para ese sistema de coordenadas.

De todos modos, que hace el trabajo desde $(v \cdot v)' = 2Re(A(t)\cdot v) \leq \kappa v \cdot v$, por lo que la longitud de $v$ decae exponencialmente.

edit: no Es claro para mí lo que te gustaría más detalle. El sistema de coordenadas tal vez? Decir $X^{-1} A(\infty) X = J$ es el Jordan en la forma de la matriz $A(\infty)$. Significa esto $J$ tiene los autovalores abajo de la diagonal y $1$'s (o $0$'s) inmediatamente fuera de la diagonal. La matriz $X$ se compone de los vectores propios y los de orden superior, los vectores propios de a $A(\infty)$. Si la escala de abajo los de orden superior, los vectores propios (haciendo operaciones de columna en $X$), se obtiene una nueva matriz $Y$ $Y^{-1} A(\infty) Y$ todavía tiene los autovalores corriendo por la diagonal, pero el cero fuera de la diagonal términos son mucho más pequeños. Usted puede hacer esto para hacer la diagonal términos tan pequeño como quieras -- en particular, mucho más pequeños que los autovalores de sí mismos. Que es un estable estado de cuenta. En cualquier suficientemente pequeño barrio de $A(\infty)$ en el espacio de las matrices, sus matrices tendrá un número relativamente grande abajo de la diagonal, y el fuera de la diagonal términos será relativamente pequeño. Que es suficiente para obtener la última desigualdad anterior.

Answer 2

La respuesta es positiva. Usted puede considerar el sistema como $$ \dot x=Bx+C(t)x,\etiqueta{1} $$ donde $\lim_{t\to\infty}\|C(t)\|=0$, el uso de la representación integral de la solución y el hecho de que la matriz fundamental de soluciones $\Phi(t)$ $\dot x=Bx$satisface la estimación de $\|\Phi(t)\|\leq Ce^{-\mu t}$ algunos $\mu>0$.

Una palabra de precaución: Si la matriz de $B$ es estable (es decir, $\mbox{Re}\,\lambda\leq 0$), entonces la condición de $\lim_{t\to\infty}\|C(t)\|=0$ no es suficiente para garantizar la estabilidad de la solución trivial.

Edit: Esquema de una prueba. Vamos $$ \dot \Phi(t)=B\Phi(t). $$ En $(1)$ I hacer la sustitución $x=\Phi(t)z$ y encontrar que $$ \dot z=\Phi^{-1}(t)C(t)\Phi(t)z. $$ Puedo integrar, de retorno a la variable original y conseguir que, en lugar de $(1)$ tengo $$ x(t)=\Phi(t)x_0+\int_{t_0}^t\Phi(t-\tau+t_0)C(\tau)x(\tau)d\tau. $$ Ahora se puede calcular la norma $\|x\|$ en la forma habitual, el uso de un Grownwall la desigualdad y obtener la conclusión (requiere un poco de trabajo para llenar los huecos).