Elíptica regularidad en espacios de Sobolev de orden negativo

Question

Estoy teniendo algunos problemas con espacios de Sobolev de la negativa de la orden. Más precisamente estoy pensando en el espacio $W^{-1,p}(\mathbb{R}^2),$ considerado como 'el' espacio dual de $W^{1,q}(\mathbb{R}^2).$

Pregunta 1: ¿hay una buena referencia para los espacios de Sobolev de la negativa de la orden, para $1<p<\infty.$

Pregunta 2: Supongamos $f\in W^{-1,p}(\mathbb{R}^2,\mathbb{C})$ es una débil solución de la no homogénea de Cauchy-Riemann ecuación, es decir, $\left\langle f,\overline{\partial} g+Sg \right\rangle$ para todo liso y compacto respaldado $g,$ donde $\overline{\partial}$ es la de Cauchy-Riemann operador y $S$ es suave. Entonces es cierto que $f$ sí es suave?

Conozco el caso de $S=0$ es a veces llamado Weyl del Lexema.

Answer 1

1). Canónica referencias Adams' espacio de Sobolev, y Triebel la secuencia de los libros en Función de los espacios. Compruebe también Maclean's Fuertemente elíptica sistemas ..., y Bergh y Lögström la Interpolación de espacios.

2). Esto es cierto por elípticas regularidad. Usted puede incluso llevar a $f$ a ser una distribución de la solución de la ecuación en el sentido de la distribución. Si $S$ es analítico $f$ también ser analítico. Ejemplo de referencias sería Folland la Introducción a la PDE, y Taylor PDE yo.

Answer 2

No estoy seguro acerca de la pregunta 2. Para el 1, me gustaría echar un vistazo a "Espacios de Sobolev" por Robert Alexander Adams, John J. F. Fournier.