¿Por qué era necesario que la integral de Riemann considerara todas las particiones y etiquetados?

Question

Supongamos que tenemos una función $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ . La integral de Riemann $\int$ de la función se define algo así:

Para cualquier partición etiquetada $\dot{P}=(P,t_P)$ (donde $P$ es la partición, y $t_P=\{t_i\}$ el etiquetado correspondiente) de $[a,b]$ denotan la suma de Riemann de $f$ correspondiente a $\dot{P}$ por $S(f,\dot{P})$ . Si $S(f,\dot{P})$ se acerca a un valor definido $I$ comme $||\dot{P}||\to0$ entonces $$\int f = I$$

Según la definición, $\dot{P}$ recorre el conjunto de todas las particiones etiquetadas de [ $a,b]$ teniendo en cuenta cualquier la partición y cualquier etiquetado para esa partición en particular. ¿Es realmente necesaria tanta libertad de elección? En esta pregunta Sé que si especificamos las opciones para ambos $P$ y $t$ la integral ya no es equivalente a la integral de Riemann (En el enlace, $P$ es siempre una equiparación, y $t$ es el conjunto de los extremos izquierdos de $P$ ). ¿Y si fijamos exactamente uno de $P,t$ ? ¿La "integral" resultante sigue siendo equivalente a la integral de Riemann?

Por ejemplo, si defino otra integral $\int_1$ de forma similar (pero especificando la elección de $P$ ):

Para $n\in\mathbb{N}$ definir $P_n$ para ser la equipartición de $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud, y para cualquier etiquetado $t_{P_n}$ de $P_n$ denotan la correspondiente partición etiquetada como $\dot{P}_{n,t}$ . Si $S(f,\dot{P}_{n,t})$ se acerca a un valor definido $I_1$ comme $n\to \infty$ entonces $$\int_1f = I_1$$

Del mismo modo, puedo definir algunos otros $\int_2$ considerando todas las particiones, pero especificando $t$ por ejemplo, tomando los puntos medios de cada subintervalo de una partición determinada. ¿Será esto $\int_1$ o $\int_2$ sea equivalente a $\int$ ?

Más o menos, ¿cuál es la ventaja de variar simultáneamente $P$ así como $t$ ¿que no se podría lograr haciendo eso de una en una?

[Probablemente mis definiciones no sean muy precisas, me disculpo por ello].

Answer 1

Amplío mi comentario como respuesta más abajo.

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En primer lugar, es obvio que si una función $f$ es integrable de Riemann según la definición estándar (la que implica la elección de la partición así como de las etiquetas) entonces también es integrable de Riemann según las dos definiciones alternativas sugeridas por OP.

Además, sabemos que la teoría de la integración de Riemann se estudia convenientemente utilizando sumas de Darboux en lugar de sumas de Riemann y, en este sentido, tenemos el siguiente resultado (la prueba está disponible en casi cualquier libro de texto de análisis real):

Criterio de integrabilidad de Riemann : Una función $f$ definido y acotado en $[a, b]$ es integrable de Riemann en $[a, b]$ si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ hay una partición $P_{\epsilon}$ de $[a, b]$ tal que $$U(f, P_{\epsilon}) - L(f, P_{\epsilon}) < \epsilon$$ donde para cualquier partición $$P = \{a = x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} = b\}, x_{i - 1} < x_{i}, i = 1, 2, \ldots, n$$ la suma superior de Darboux para $f$ (indicada por $U(f, P)$ ) y la suma inferior de Darboux (denotada por $L(f, P)$ ) viene dada por $$U(f, P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(x_{i} - x_{i - 1}),\, L(f, P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(x_{i} - x_{i - 1})$$ con $$M_{i} = \sup\,\{f(x), x\in [x_{i - 1}, x_{i}]\},\,m_{i} = \inf\,\{f(x), x\in [x_{i - 1}, x_{i}]\}$$

Utilizando este resultado es posible demostrar que si $f$ es integrable de Riemann según la primera definición sugerida por OP entonces es integrable de Riemann según la definición estándar aceptada de integrabilidad de Riemann.

Vamos a arreglar un $\epsilon > 0$ . Sea $P_{n} = \{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\}$ denotan equipartición de $[a, b]$ para que $x_{i} = a + i(b - a)/n$ . Supongamos que una función $f$ definido y acotado en $[a, b]$ es integrable de Riemann según la primera definición dada por OP. Entonces existe un número $I$ y un número entero positivo $N$ tal que $$|S(f, P_{n}) - I| < \frac{\epsilon}{4}$$ para todos $n > N$ . Aquí $S(f, P_{n})$ representa una suma de Riemann para $f$ sobre la equiparación $P_{n}$ con cualquier conjunto arbitrario de etiquetas (la notación $S(f, P)$ no indica explícitamente la dependencia de las etiquetas y se aumentará más adelante para mostrar esta dependencia). Lo importante es señalar que $N$ depende sólo de $\epsilon$ y no en la elección de etiquetas con partición $P_{n}$ .

En lo que sigue, fijemos un número entero positivo $n > N$ . Desde $M_{i} = \sup\,\{f(x), x \in [x_{i - 1}, x_{i}]\}$ se deduce que hay un punto $t_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ tal que $$M_{i} - f(t_{i}) < \frac{\epsilon}{4(b - a)}$$ y por lo tanto $$U(f,P_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(x_{i} - x_{i - 1}) < \sum_{i = 1}^{n}f(t_{i})(x_{i} - x_{i - 1}) + \frac{\epsilon}{4} = S(f, P_{n}, t) + \frac{\epsilon}{4}$$ donde $S(f, P, t)$ es una suma de Riemann para $f$ sobre la partición $P$ y etiquetas $t_{i}$ .

De manera similar podemos demostrar que existe otro conjunto de etiquetas $t_{i}'$ para la partición $P_{n}$ tal que $$L(f, P_{n}) > S(f, P_{n}, t') - \frac{\epsilon}{4}$$ Ahora tenemos \begin{align} U(f, P_{n}) - L(f, P_{n}) &= |U(f, P_{n}) - L(f, P_{n})|\notag\\ &= |U(f, P_{n}) - S(f, P_{n}, t)\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\, + S(f, P_{n}, t) - I + I - S(f, P_{n}, t')\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\, + S(f, P_{n}, t') - L(f, P_{n})|\notag\\ &\leq |U(f, P_{n}) - S(f, P_{n}, t)|\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,+|S(f, P_{n}, t) - I|\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,+|I - S(f, P_{n}, t')|\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,+|S(f, P_{n}, t') - L(f, P_{n})|\notag\\ &< \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4}\notag\\ &= \epsilon\notag \end{align} Por lo tanto, por el criterio de integrabilidad de Riemann $f$ es integrable de Riemann en $[a, b]$ según la definición estándar de integrabilidad de Riemann.

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Por otro lado, la segunda definición sugerida por OP (que fija las etiquetas para una determinada partición) no parece susceptible de un análisis como el de los párrafos anteriores. No he podido encontrar un contraejemplo para demostrar que esta definición no es equivalente a la definición estándar. Sin embargo, parece que la elección de las etiquetas es esencial para vincular las sumas de Riemann con las sumas superiores e inferiores de Darboux y esto es probablemente un ingrediente esencial en la definición de integral de Riemann.

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Actualización : En la prueba presentada anteriormente no utilizo en ninguna parte el hecho de que $P_{n} $ es una partición de forma específica en la que todos los subintervalos tienen la misma longitud. En particular, no asumimos nada sobre la norma de $P_{n} $ . Todo lo que asumo es que existe una secuencia de tales particiones para las que las sumas de Riemann convergen a $I$ . Lo que se supone es que el número $I$ no depende de la elección de las etiquetas, pero la velocidad de convergencia puede depender de la elección de las etiquetas. Esto hará que $N$ en la prueba para depender de la elección de las etiquetas. Pero esto no es un problema ya que estamos tratando con sólo dos opciones de etiquetas para que podamos tener $N_{1},N_{2}$ en lugar de $N$ y elija $N=\max(N_{1},N_{2})$ .

Answer 2

No se puede definir un etiquetado sin decir qué partición se está etiquetando, por lo que la idea de elegir primero el etiquetado no es viable.

Ahora la pregunta es si se puede definir una integral basada sólo en la partición, sin el etiquetado, y que resulte equivalente a la integral de Reimann. Si consideramos fucniones que tienen un comportamiento diferente en los racionales que en los irracionales, veremos que esto no funcionará.