Impacto de números aleatorios en los eigen-valores

Question

¿Cómo los eigen-valores de la siguiente matriz tridiagonal ($A$) cambio cuando la adición de números aleatorios $R_i$ (con una distribución normal con media 0 y varianza $m$) a su diagonal. A es una matriz cuadrada se define de la siguiente manera:

Para i = 1 a N $$ A(i,i) = -2 + R_i $$ $$ A(i,i+1) = 1 $$ $$ A(i,i-1) = 1 $$ donde m y N son constantes.

Observe que los eigen-valores son conocidos para el caso de $R_i=0$:

para j=1 a N; $$ Eig(j) = -2 -2 cos(j\pi/N) $$

Solución numérica revela que los eigen valores alrededor del máximo autovalor tiene la mayor desviación de la caja sin números aleatorios ($R_i=0$). Por ejemplo, la siguiente figura muestra eigen valores con y sin tener los números aleatorios para m=0.1. Pero, ¿cómo podemos resolver el problema analíticamente? (Tal vez usando el teorema del límite central)

Answer 1

No creo que esta pregunta tiene una respuesta fácil. Consulte la sección 1.3, "Valores y cantidades de Hermitian matrices" de Terry Tao del libro de matrices aleatorias.

Answer 2

Este parece caer bajo el autovalor de la perturbación problema.

La siguiente se supone que los vectores propios $x_{0j}$ de la imperturbable de la matriz se eligen de modo que $||x_{0j}||^2 = x_{0j}^{*} x_{0j} = 1$.

Un autovalor de perturbado matriz es $\lambda_j = \lambda_{0j} + \mathbf{x}_{0j}^{*} \delta A \mathbf{x}_{0j} + o(||\delta A||)$ donde $\lambda_{0j} = -2 - 2 \cos (2 \pi j/N)$ $j$- ésimo valor propio para imperturbable de la matriz, $\mathbf{x}_{0j}$ es el correspondiente vector propio y $\delta A$ es una matriz diagonal con $R_i$ en su diagonal, $||\delta A|| = \max |R(i)|$. Como resultado, hasta el más alto grado , la expectativa de $\lambda_j$ es la no-perturbado valor de $\lambda_{0j}$ y, si $R_i$ están correlacionadas, entonces $$ \mathrm{Var}(\lambda_j) = \mathrm{Var} \left(\sum_{k=1}^N R_k |(x_{0j})_k|^2 \right)= \sum_{k=1}^N \mathrm{Var} (R_k |(x_{0j})_k|^2) = \sum_{k=1}^N |(x_{0j})_k|^4 m \leq m $$ (hasta el más alto en términos del grado). Puesto que los vectores propios tienen la forma $(x_{0j})_k = \sqrt{1/N}\exp(-i t_{jk})$ real $t_{jk}$, $|(x_{0j})_k|^2 = 1/\sqrt{N}$ para todos los $k$ y por lo tanto, $\lambda_j = \lambda_{0 j} + \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N R_k + o(||\delta A||)$$\mathrm{Var}(\lambda_j) = m/N$.

Para su referencia, la de segundo orden y de tercer orden son las correcciones $$ \delta \lambda^{(2)} = \sum_{\substack{k=1\\ k \neq j}}^{N} \frac{|x_{0}^{*} \delta x_{0j}|^2}{\lambda_{0j} - \lambda_{0}} $$ y $$ \delta \lambda^{(3)} = \sum_{\substack{k=1\\ k \neq j}}^{N} \sum_{\substack{m=1\\ m \neq j}}^{N} \frac{x_{0j}^{*} \delta x_{0 m} x_{0 m}^{*} \delta x_{0} x_{0}^{*} \delta x_{0j}}{(\lambda_{0 m} - \lambda_{0j})(\lambda_{0} - \lambda_{0j})} - x_{0j}^{*} \delta x_{0j} \sum_{\substack{m = 1\\m \neq j}} \frac{|x_{0j}^{*} \delta x_{0 m}|^2}{(\lambda_{0 m} - \lambda_{0j})^2}. $$

La fórmula para el valor de la media para $\max R_i$, el cual describe la forma exacta por encima de las estimaciones, se puede encontrar en la Expectativa de que el máximo de variables aleatorias gaussianas.

Como resultado de Bauer–Fike teorema, para cualquier valor propio de la perturbado matriz $\lambda$ no es un autovalor de imperturbable matriz $\lambda_0$ tal que $|\lambda - \lambda_0| \leq \max R_i$.

Además, se desprende de Gershgorin círculo teorema de que todos los autovalores pertenecen a $[-4, 0]$.