Problema que trata de la suma de dígitos de ciertos números.

Question

$N$ es el menor número entero positivo tal que la suma de los dígitos de $N$ es 18 y la suma de los dígitos de $2N$ es $27$ . Encuentre $N$ .

Mis trabajos hasta ahora:

Si $N$ tenía dos dígitos, entonces $N$ debe ser igual a $99$ . Sin embargo, la suma de los dígitos de $99\times 2$ no es igual a $27$ . Por lo tanto, $N$ debe tener al menos tres dígitos.

Supongamos que $N$ tiene tres dígitos. Denota sus dígitos por $a, b, c, \dots$ si sus valores son $0, 1, 2, 3,$ o $4$ $(a\neq 0$ ), y por $A, B, C, \dots$ si sus valores son $5, 6, 7, 8,$ o $9$ .

Las posibilidades de $N$ son $abc, abC, aBc, Abc, ABc, AbC, aBC,$ o $ABC$ . Podemos ignorar los cuatro primeros casos, ya que su suma máxima no supera 18. Para los cuatro últimos casos, 2N será respectivamente igual:

$[1][2A-9][2B-10][2c], [1][2A-10][2b+1][2C-10], [2a+1][2B-9][2C-10],$ y $[1][2A-0][2B-9][2C-10]$

(donde los corchetes representan dígitos individuales)

Teniendo en cuenta estas cifras, basadas en el hecho de que $N$ suman 18, las sumas de los dígitos de los casos anteriores son $18, 18, 18,$ y $9$ respectivamente.

Supongamos que $N$ es un número de cuatro dígitos....

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No sé cómo continuar desde aquí. Tal vez podríamos hacer un simulacro de "número" como el anterior, pero ¿cómo calcularíamos las sumas de dígitos de esos casos?

Gracias por la ayuda que puedas proporcionar - Jazza.

Answer 1

¿Por qué no puede $N$ ser un número de tres dígitos?

O bien $2N$ es un número de tres dígitos, o es de cuatro dígitos, con $1$ como primer dígito. Si ocurre lo primero, entonces $2N = 999$ , lo que no puede ocurrir. Si ocurre lo otro, entonces $2N = 1abc$ , donde $a+b+c = 26$ . Vemos que la única posibilidad es que $a,b,c$ es $8,9,9$ en algún orden. Como $2N$ está en paz, $c = 8$ pero luego $N=999$ un problema.

Ahora, básicamente necesitamos $N$ sea un número de cuatro dígitos, y $2N$ para tener una suma de dígitos de $27$ . Dado que una suma de dígitos de $27$ es más difícil de obtener, y $2N$ es un múltiplo de $18$ entonces es mejor ir a la fuerza bruta con $2N$ en lugar de $N$ .

Ahora, supongamos que $2N$ tiene el primer dígito $2$ que es el más pequeño posible si $N$ tiene cuatro dígitos. Entonces, el resto de los dígitos tienen que sumar $25$ . Esto ocurre con $9,9,7$ y $9,8,8$ . Ahora bien, como $2N$ es uniforme, definitivamente podemos descartar $9,9,7$ , por lo que queda $9,8,8$ . Esto nos ayuda a formar el número $2898$ y $2988$ como candidatos a $2N$ . Para estos, $N = 1449$ y $N = 1494$ . Ambos tienen suma de dígitos $18$ . El primero es más pequeño, por lo tanto es la respuesta : $N = 1449$ .

Answer 2

Si duplicamos $N$ en función de los dígitos, es decir, sin hacer los acarreos, la "suma virtual de dígitos" resultante es $36$ . Cada acarreo realizado reduce esta suma de "dígitos virtuales" en $9$ . De ello se desprende que hay exactamente un acarreo; por lo tanto $N$ tiene exactamente un dígito $>4$ . Desde $4+4+9<18$ el número $N$ tiene al menos $4$ dígitos, y entonces es obvio que $1449$ es el número más pequeño que satisface las condiciones.