Un estudiante toma un $10$ -Examen de preguntas de verdadero/falso y adivinanzas. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno responda incorrectamente a todas las preguntas?

Question

Supongamos que un estudiante toma un $10$ -examen de verdadero/falso y adivinanzas en cada pregunta.
¿Cuál es la probabilidad de que...
a) el alumno responde incorrectamente a todas las preguntas?
b) los alumnos responden correctamente al menos a una pregunta
c) el alumno responde correctamente a 5 preguntas.

Hasta ahora he resuelto a. Tengo $(1/2)^{10}$ .
Para b no estoy seguro de qué hacer.
Para c la respuesta sería $(1/2)^5$ ?

Answer 1

A) Está bien.

b) Obsérvese que el hecho complementario de $A =$ "al menos un derecho" es $\bar A =$ "todo mal". De ahí que $$P(A) = 1-P(\bar A) = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}.$$

c) No. Tienes que contar todos los puntos en los que has acertado. Observa que hay $\binom{10}{5}$ formas de elegir las preguntas que son correctas. También sabemos que $5$ se equivocan (con el azar $1/2$ cada vez) y $5$ tienen razón (con el azar $1/2$ cada vez). Por lo tanto, $$P(\text{Exactly 5 right}) = \binom{10}{5}\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^5.$$

El número de respuestas correctas en $10$ intenta sigue una distribución binomial .

Answer 2

Dado que la probabilidad de responder correctamente a una pregunta es $\dfrac12$ :

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a) el alumno responde incorrectamente a todas las preguntas?

$$\left(1-\frac12\right)^{10}$$

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b) los alumnos responden correctamente al menos a una pregunta

$$1-\left(1-\frac12\right)^{10}$$

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c) el alumno responde correctamente a 5 preguntas.

$$\binom{10}{5}\cdot\left(\frac12\right)^{5}\cdot\left(1-\frac12\right)^{10-5}$$

Answer 3

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que relacione el número de respuestas correctas adivinadas con su probabilidad. $X$ es discreto y por lo tanto $X \sim Bionomial(n=10, p = \frac{1}{2})$ . Sólo hay que introducir el correspondiente $P(X = a)$ y calcular mediante. la ecuación de la distribución binomial para calcular la respuesta deseada. Para la parte b es $P(X \geq 1) = 1 - P(X =0)$

Answer 4

Para b será $$\sum\frac{{10\choose i}}{2^{10}}$$ donde $ i \in [1,10]$ como su al menos 1 correcto . Para c será cualquiera $5$ de $10$ por lo que será $$\frac{{10\choose 5}}{2^{10}}$$