¿Es

Question

Comencé con la siguiente serie:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{3}{n}\right)^nn!}$

El objetivo es averiguar si la secuencia converge o divergen. Salió bastante bien, con suerte, hasta que me quedé atascado aquí:

$\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{3}{1+\frac{1}{n}}\right)^n} = \lim_{n \to \infty}{3^n}$

El problema es que no puedo averiguar si esto es una igualdad válida. Sobre la base de la propiedad de la multiplicación de los límites, asumiría que sí, pero el hecho de que se haya elevado a$n$ me hace pensar.

Answer 1

Usando el Test de Ratio (explicativo):

PS

PS

Dado que el$$\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{3^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n \cdot n!} = \frac{3^n \cdot 3 \cdot(n+1)n! \cdot n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)^1 \cdot 3^n \cdot n!} = \frac{3 \cdot n^n}{(n+1)^n} = 3 \cdot \left(\frac{n}{n+1} \right)^n$ la serie diverge.

Answer 2

Sugerencia: Para el problema original, use la Prueba de relación. Después de una pequeña manipulación, encontrará que si$a_k$ denota el término$k$ - th, entonces$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.$ $ El denominador tiene un límite de$e\lt 3$.