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Diferencial de una función particular

Dados dos PQR y PQR en R2 Quiero encontrar una biyección f entre PQR y PQR tal que:

1) ˜M:=supxPQRsup||v||=1||dfv||= max {PQPQ,PRPR,QRQR}=:M

2) ˜m:=infxPQRinf||v||=1||dfv||= min {PQPQ,PRPR,QRQR}=:m "

¿Existe siempre esta biyección?

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Normal Human Puntos 45168

No existe tal biyección en general. Por ejemplo, dejemos que

  • P=(1,0) , Q=(1,0) y R=(0,1)
  • P=P , Q=Q y R=(0,2)

Entonces M=5/2 y m=1 .

El segmento de línea desde R a (0,0) tiene una longitud 1 . Debe ser mapeado por f a alguna curva que conecte R a la x -eje. Cualquier curva de este tipo tiene una longitud de al menos 2 por lo tanto,
sup


Sustitución de R y R' por (0,\epsilon) y (0,\sqrt{\epsilon}) Verás que ni siquiera es posible tener \sup_{x\in PQR}\sup_{\|v\|=1}\|dfv\|\le CM con un universal C . De hecho, como \epsilon\to 0 la norma requerida de df tiende a infinito, mientras que M tiende a 1 .

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