No existe tal biyección en general. Por ejemplo, dejemos que
- P=(−1,0) , Q=(1,0) y R=(0,1)
- P′=P , Q′=Q y R′=(0,2)
Entonces M=√5/2 y m=1 .
El segmento de línea desde R a (0,0) tiene una longitud 1 . Debe ser mapeado por f a alguna curva que conecte R′ a la x -eje. Cualquier curva de este tipo tiene una longitud de al menos 2 por lo tanto,
sup
Sustitución de R y R' por (0,\epsilon) y (0,\sqrt{\epsilon}) Verás que ni siquiera es posible tener \sup_{x\in PQR}\sup_{\|v\|=1}\|dfv\|\le CM con un universal C . De hecho, como \epsilon\to 0 la norma requerida de df tiende a infinito, mientras que M tiende a 1 .