Diferencial de una función particular

Question

Dados dos $PQR$ y $P'Q'R'$ en $\mathbb{R}^2$ Quiero encontrar una biyección $f$ entre $PQR$ y $P'Q'R'$ tal que:

1) $\widetilde{M}:=sup_{x\in PQR}sup_{||v||=1}||dfv||=$ max $\{\frac{P'Q'}{PQ},\frac{P'R'}{PR},\frac{Q'R'}{QR}\}=:M$

2) $\widetilde{m}:=inf_{x\in PQR}inf_{||v||=1}||dfv||=$ min $\{\frac{P'Q'}{PQ},\frac{P'R'}{PR},\frac{Q'R'}{QR}\}=:m$ "

¿Existe siempre esta biyección?

Answer 1

No existe tal biyección en general. Por ejemplo, dejemos que

• $P=(-1,0)$ , $Q=(1,0)$ y $R=(0,1)$
• $P'=P$ , $Q'=Q$ y $R'=(0,2)$

Entonces $M=\sqrt{5/2}$ y $m=1$ .

El segmento de línea desde $R$ a $(0,0)$ tiene una longitud $1$ . Debe ser mapeado por $f$ a alguna curva que conecte $R'$ a la $x$ -eje. Cualquier curva de este tipo tiene una longitud de al menos $2$ por lo tanto,
$$\sup_{x\in PQR}\sup_{\|v\|=1}\|dfv\|\ge 2>M$$

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Sustitución de $R$ y $R'$ por $(0,\epsilon)$ y $(0,\sqrt{\epsilon})$ Verás que ni siquiera es posible tener $$\sup_{x\in PQR}\sup_{\|v\|=1}\|dfv\|\le CM$$ con un universal $C$ . De hecho, como $\epsilon\to 0$ la norma requerida de $df$ tiende a infinito, mientras que $M$ tiende a $1$ .