Uso de una sustitución en una prueba para polinomios de Hermite.

Question

La función de generación codifica todos los polinomios de Hermite en una fórmula. Es una función de$x$ y una variable dummy$t$ de la forma:$e^{2xt-t^2}=\sum^\infty_{n=0}\frac{H_n(x)}{n!}t^n. $

Comenzamos considerando$f(t)=e^{-(x-t)^2}=e^{-x^2}e^{2xt-t^2}.$ La serie de Taylor para esta función es$f(t)=\sum^\infty_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n.$ Aquí, al usar una sustitución,$x-t=u$, tenemos$f^{(n)}(0)=\bigg[ \frac{d^n}{dt^n}e^{-(x-t)^2} \bigg]_{t=0}=(-1)^n\bigg[ \frac{d^n}{dt^n}e^{-u^2} \bigg]_{u=x}=(-1)^n\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})=e^{-x^2}H_n(x).$

Estoy luchando para ver cómo se implementa la sustitución$x-t=u$ aquí y de dónde surge el$(-1)^n$? Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

Si$u=x-t$ entonces$t=x-u$ y$dt=d\left(x-u\right)=dx-du=-du$ ($x$ aquí es como constante).
También$d^{n}t=\left(-1\right)^{n}d^{n}u$ porque cada diferencia cambia de signo a opuesto.

$f^{\left(n\right)}\left(t\right)=\left[\frac{d^{n}}{dt^{n}}e^{-\left(x-t\right)^{2}}\right]_{t=0}=\left[\frac{d^{n}}{\left(-1\right)^{n}d^{n}u}e^{-u^{2}}\right]_{x-u=0}=\left[\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{d^{n}u}e^{-u^{2}}\right]_{u=x}=\\=\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{d^{n}x}e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}\cdot\left(-1\right)^{n}e^{-x^{2}}\frac{d^{n}}{d^{n}x}e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}H_{n}\left(x\right)$

Última parte que tomé de JamesT (ver el comentario anterior).