¿El índice topológico de un operador autoadjunto es siempre cero?

Question

Según el teorema del índice de Atiyah-Singer, el índice de un opeartor autoadjunto D (p. Ej., Hamiltoniano) viene dado por

Índice (D) = dim Ker (D) - dim Ker (D *),

donde D * es el operador adjunto de D. Dado que D es autoadjunto, D = D *, concluimos que el Índice (D) = 0. ¿Es esta conclusión correcta? ¿Podemos definir un índice distinto de cero para el operador autoadjunto?

Answer 1

Su conclusión es correcta. El índice definido de la forma en que lo hizo, por supuesto, no puede ser distinto de cero para el operador autoadjunto. Uno puede intentar definir algún otro índice, si lo desea, pero me temo que no tendría nada que ver con el teorema de Atiyah-Singer.