Simplifique la serie dada por la relación de recurrencia$na_n=2a_{n-2}$

Question

Si le dan una relación de recurrencia tal que:

$$ na_n = 2a_ {n-2} \ implica a_n = \begin{cases} 0 & \text{odd} \,n \\ \frac{2}{n}a_{n-2} & \text{even} \,n \end {casos} $$

Mi libro de texto sugiere que la serie puede ser simplificada por

Al poner$n=2m$ (ya que solo aparecen términos pares en esta serie), obtenemos$$a_{2m}=\frac{2}{2m}a_{2m-2}=\bbox[#AF0]{\frac{1}{m}a_{2m-\color{red}{2}}=\frac{1}{m}\color{red}{\frac{1}{(m-1)}}a_{2m-\color{red}{4}}}=\frac{1}{m!}a_0$ $

Entiendo la igualdad final como$$\frac{1}{m}\frac{1}{(m-1)}\frac{1}{(m-2)}\frac{1}{(m-3)}\cdots=\frac{1}{m!}$ $

Pero no entiendo la igualdad resaltada.

¿Por qué aparece$\color{red}{\cfrac{1}{m-1}}$ cuando$a_{2m-\color{red}{2}}$ se reduce a$a_{2m-\color{red}{4}}$?

Answer 1

De $$ a_n = \ frac {2} {n} \: a_ {n-2}, \ quad n \, \, \ text {even}$$ you may just put $ n = 2m-2 $ para obtener $$ a_ {2m- \ color {rojo} {2}} = \ color {azul} {\ frac {2} {2m-2}} \: a_ {2m- \ color {rojo} {2-2}} $$ o $$ a_ {2m- \ color {rojo} {2}} = \ color {azul} {\ frac1 {m-1}} \: a_ {2m- \ color {rojo} {4}}. $$

Answer 2

Lo que se ha proporcionado es$$a_{2m} = \frac{1}{m} \, a_{2m-2}$ $. A partir de esto, entonces \begin{align} a_{2m} &= \frac{1}{m} \, a_{2(m-1)} \\ &= \frac{1}{m \, (m-1)} \, a_{2(m-2)} \\ &= \frac{1}{m \, (m-1) \, (m-2)} \, a_{2(m-3)} ... \end {align} El patrón es$$a_{2m} = \frac{(m-k)!}{m!} \, a_{2(m-k)},$ $ donde$0 \leq k \leq m$. Cuando entonces $k=m$.