La construcción de Rudin de la topología límite inductiva: ¿innecesariamente abstrusa?

Question

En el libro de análisis funcional de Rudin, uno de los ejemplos del primer capítulo se utiliza más tarde en el capítulo sobre distribuciones. Pero cuando llega a definir la topología límite inductiva en un determinado espacio, me parece innecesariamente abstruso y confuso, (probablemente porque me estoy perdiendo algo esencial). Quiero comprobar que entiendo las ideas, y saber si hay alguna razón particular para la definición de Rudin.

Esta es la forma en que lo establece en el capítulo uno: tome un conjunto abierto $\Omega\subseteq \mathbb R^n$ , un compacto $K\subseteq \Omega$ y definir $\mathcal D_K$ para ser la colección de $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ funciones admitidas en $K$ . Entonces, dejemos que $\{K_n\}$ ser un agotamiento de $\Omega$ para que las normas $p_N(f) = \max \{D^{\alpha}f(x): x\in K_N;\ |\alpha|<N\}$ (donde $\alpha $ por supuesto es un multiíndice) inducen una topología en $C^{\infty}(\Omega)$ y $\mathcal D_K$ es un subespacio cerrado siempre que $K\subset \Omega.$ Ahora, en el capítulo de las distribuciones, Rudin pasa a definir $\mathcal D(\Omega)=\bigcup_{K\subset \Omega}\mathcal D_K$ y lo topologiza mediante una colección de normas cuya restricción a cada $\mathcal D_K$ induce la misma topología que la inducida por el $p_N$ . Pero $\mathcal D(\Omega)$ no es completa en esta topología, así que buscamos una más fina que funcione. Yo veo esto como: controlar lo que sucede en el límite de $\Omega$ nos gustaría añadir seminormas a las que ya tenemos, hasta conseguir un espacio completo.

Lo anterior parece ser la configuración adecuada para definir la topología que queremos en $\mathcal D(\Omega)$ para ser la topología límite inductiva, (aunque no usemos el nombre) porque claramente las inclusiones $\mathcal D_{K_n}\to \mathcal D_{K_{n+1}}$ son continuas, por lo que si definimos $\tau_{D(\Omega)}$ para ser la topología más fina que hace las inclusiones $\mathcal D_N\to \mathcal D(\Omega)$ continua, entonces los resultados obtenidos en el resto del capítulo se desprenden (de forma más intuitiva y clara ) de esta definición.

De hecho, esta definición implica que para $\textit{any}$ Seminorma $p$ en $\mathcal D(\Omega)$ tenemos que $p$ es continua si y sólo si su restricción a $\mathcal D _K$ es continua para cada $K\subset \Omega.$ Así que también podríamos haber declarado que la topología deseada es la inducida por la colección $\mathscr P$ de los seminormales $p$ que satisfagan: $p\in \mathscr P\Leftrightarrow p|_{\mathcal D_K}$ es continua. De hecho, usando esto, pude obtener todas las pruebas que Rudin obtuvo por su caracterización de la topología:

$a).\ $ Dejemos que $\beta$ sea la colección de todos los conjuntos convexos equilibrados $W\subseteq \mathcal D(\Omega)$ tal que $\mathcal D_K\cap W\in \tau_K$ para cada compacto $K\subset \Omega.$

$b).\ $ la topología deseada es entonces la colección de uniones de los conjuntos $\phi + W;\ \phi\in \mathcal D(\Omega)$ .

En primer lugar, dada la configuración, ¿por qué recurrir a este enfoque más abstracto? ¿Por qué no hacerlo de la forma en que la configuración parece conducir naturalmente? Creo que parte $a).$ es una reformulación de la definición anterior $p\in \mathscr P\Leftrightarrow p|_{\mathcal D_K}$ es continua, en cuyo caso, todo está bien.

En cualquier caso, ¿no sería más limpio señalar que, como ya tenemos topologías en el $\mathcal D_K$ ¿por qué no utilizar la definición anterior en primer lugar? Es decir, topologizar $\mathcal D(\Omega)$ tomando todas las seminormas sobre $\mathcal D(\Omega)$ de tal manera que sus restricciones a cada $\mathcal D_K$ son continuos.

Answer 1

Antes de responder a la pregunta podría ser útil recordar algunas generalidades. Un tema común a lo largo de las matemáticas está relacionada con dos tipos de descripciones para el mismo conjunto. Tome el círculo unidad $C$ alrededor del origen. Uno tiene una descripción de las restricciones (implícita de la ecuación): $$ C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2=1\}\ . $$ También se tiene una descripción paramétrica: $$ C=\{(\cos t,\sen t)\ |\ t\in\mathbb{R}\}\ . $$ La solución de un sistema lineal en álgebra lineal significa ir de una restricción descripción o paramétrico. Si a uno se le pide para comprobar si un objeto dado es en el conjunto, la restricción descripción es mejor. Si a uno se le pide a producir un elemento en el conjunto, la descripción paramétrica es mejor.

Ahora sobre la cuestión, vamos a $\Omega$ ser un dominio abierto en $\mathbb{R}^n$ y considerar el espacio $\mathcal{D}(\Omega)=C_{c}^{\infty}(\Omega)$. Para cada compacto $K$ en $\Omega$ es evidente que existe una inyección de $\iota_{K}:\mathcal{D}_K\rightarrow \mathcal{D}(\Omega)$. A continuación, vamos a
$\mathscr{P}$ el conjunto de seminorms $p$ a $\mathcal{D}(\Omega)$ tal que $\forall K$, $p\circ\iota_K$ es un continuo seminorm en $\mathcal{D}_{K}$. Como el OP razón al decir que la forma más limpia de la definición de la topología de $\mathcal{D}(\Omega)$ es localmente convexo de la topología generada por la colección de seminorms $\mathscr{P}$. Estoy de acuerdo con el OP que Rudin la presentación es innecesariamente complicadas. Sin embargo, hay un problema con el $\mathscr{P}$ definición. Es una descripción de las restricciones. Dado un seminorm en $\mathcal{D}(\Omega)$, esta definición nos proporciona una manera de comprobar si es continua o no. Demostrar teoremas acerca de las distribuciones a menudo uno tiene que sacar de un sombrero de algunos seminorms para ciertas estimaciones. Horváth dio un conjunto de seminorms $\mathscr{H}\subset\mathscr{P}$ que genera la topología de $\mathcal{D}(\Omega)$. Básicamente se trata de un paramétrica de la descripción en términos de familias de funciones continuas.

Deje $\mathbb{N}=\{0,1,\ldots\}$, y denota el conjunto de multiindices por $\mathbb{N}^n$. Un localmente finito de la familia $\theta=(\theta_{\alpha})_{\alpha\in\mathbb{N}^n}$ de continuo de las funciones de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es uno de esos que para todos los $x\in\mathbb{R}^n$ hay un barrio $V$ tal que $V\cap {\rm Supp}\ \theta_{\alpha}=\emptyset$ para todos, pero un número finito de $\alpha$'s. Vamos $$ ||f||_{\theta}=\sup_{\alpha\in\mathbb{N}^n}\sup_{x\in\mathbb{R}^n} |\theta_{\alpha}(x)D^{\alpha}f(x)|\ , $$ El conjunto $\mathscr{H}$ de seminorms $||\cdot||_{\theta}$ donde $\theta$ ejecuta a través de todos estos localmente finito familias define la topología de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. Para un ejemplo de uso de estos seminorms ver: https://mathoverflow.net/questions/234025/why-is-multiplication-on-the-space-of-smooth-functions-with-compact-support-cont