Subring conmutativo de matrices sif grupo de unidades triviales

Question

Deje $R$ ser un anillo y deje $T := \left\{\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & c\end{bmatrix} \in \text{Mat}_2(R) \mid a,b,c \in R\right\}$. Me han demostrado que $T$ es un sub-anillo de $M_2(R)$ que es no conmutativa para $R ≠ \{0\}$, e $$\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & c\end{bmatrix} \in T^* \iff \{a,c\} \subseteq R^*.$$

Ahora también debe ser cierto que $T^*$ es abelian si y sólo si $R^* = \{1\}$. Ahora, por supuesto, usted puede, asumiendo $T^*$ es abelian, tomar dos arbitraria de elementos $\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & c\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x & y \\ 0 & z\end{bmatrix} \in T^*$ y se derivan de la necesaria igualdades $ax = xa, ay+bz = xb+yc$ e $cz = zc$, pero no veo cómo eso implicaría que $R$ tiene un trivial grupo de la unidad. Otro intento sería asumir que $R^* \setminus \{1\} ≠ \emptyset$, vamos a $u \in R^* \setminus \{1\}$ y considerar algunos productos como $$\begin{bmatrix}u & 1 \\ 0 & u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u & 0 \\ 0 & u\end{bmatrix}.$$ Entonces quieres ver que $u^2 = 1$, pero no necesariamente que $u = 1$. Parece que no debería ser un argumento más inteligente.

Answer 1

Están muy cerca; usted simplemente no tomar los productos adecuados.

Supongamos $u\in R^*$, y considerar la invertible matrices $$\left(\begin{array}{cc}u&1\\0&1\end{array}\right)\qquad\text{and}\qquad \left(\begin{array}{cc}u^{-1}&0\\0&1\end{array}\right).$$

Si $T^*$ es abelian, a continuación, los dos productos son iguales, por lo que $$\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} u&1\\ 0 &1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} u^{-1}&0\\0&1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc} u^{-1}&0\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} u&1\\ 0&1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 1 & u^{-1}\\ 0 & 1 \end{array}\right), \end{align*}$$ por lo tanto $u^{-1}=1$.