Factorización única del grupo diedro.

Question

Mi objetivo es demostrar el siguiente sobre el diedro grupo $D_{2n}$:

Demostrar que todo elemento de a$D_{2n}$ tiene una única factorización de la forma $a^{i}b^{j}$, donde $0 \leq i < n$ e $j=0$ o $1.$

Sé que el subgrupo cíclico $\left \langle a \right \rangle$ tiene orden de $n.$ a partir De esto, sé que este índice ha $2.$ Lo $D_{2n}$ es distinto de la unión $$\left \langle a \right \rangle \cup \left \langle a \right \rangle b.$$

Después de esto, estoy bastante atascado. Estoy yendo en la dirección correcta? ¿Cuál sería la manera correcta de terminar esta prueba?

Gracias de antemano!

Answer 1

Quieres productos de la forma:

$a^{i}b^{j}$, donde $0 \leq i < n$ e $j=0$ o $1.$

hay $2n$ : $a^0,a^1,\ldots,a^{n-1}$ e $a^0b,a^1b,\ldots,a^{n-1}b$. Estos $2n$ productos cada uno le dará un elemento de $D_{2n}$ , así como todos ellos representan distintos elementos, la factorización es única.

El $n$ productos de la forma $a^i$ son distintos porque $|a| = n$. Del mismo modo, los elementos $a^ib$ son distintos porque $a^{i_1}b = a^{i_2}b$ implica $a^{i_1} = a^{i_2}$ por cancelación, y, a continuación, $i_1 = i_2$ desde $0\leq i \leq n$. Por último, no hay $a^{i_1} b = a^{i_2}$ porque eso implicaría que $b \in \left<a\right>$.

Eso significa que su $2n$ productos en 1-a-1 correspondencia con los elementos de la $D_{2n}$; cada elemento de a$D_{2n}$ tiene un único representante como uno de los productos.