más pequeño c st$\int_{0}^1f(x^\frac{1}{n})\ dx \le c\int_0^1 f(x)\ dx $

Question

Deje $F=\{f:[0,1]\to[0,\infty)|f \ \mathrm{continuous}\}$ e $n \ge 2$ (natural). Determine el menor constante de $c$s.t. $$ \int_0^1 f\left(x^{1/n}\right)\, dx \le c\int_0^1 f(x)\ dx, \quad \forall f\in F $$

Me dijo que $f_p:[0,1]\to[0,1],f_p(x)=x^p$ es de $F$.

Por lo $$\int_{0}^1f \left(x^{p/n}\right)\ dx \le c\int_0^1 x^p\ dx$$ y $$ \frac{n}{n+p} \le \frac{c}{p+1} \quad p \to \infty \implica c \ge n. $$

Para encontrar si $c \ge n$ traté de sustituir $x^{1/n}=t$ lo $$n \int_0^1f(t)t^{n-1}dt \le c \int_0^1f(t)dt,$$ , pero no creo que esto será de ayuda. Puede alguien darme algunos consejos, por favor?

Answer 1

Desde $0 \leq t \leq 1, n-1 \geq 1$, tenemos $0 \leq t^{n-1} \leq 1$; ahora $f(t) \geq 0$ multiplicando así obtenemos la desigualdad $f(t)t^{n-1} \leq f(t)$ en todo el intervalo de $[0,1]$; integrando obtenemos $ \int_0^1f(t)t^{n-1}dt \leq \int_0^1f(t)dt$, luego multiplicando por $n$, y mediante el cambio de variables que anotó, da la desigualdad de $\int_{0}^1f(x^\frac{1}{n})\ dx \leq n \int_0^1f(t)dt$, así que si le cambie el nombre ahora $t$ como $x$ (cambio de variables nuevamente trivialmente $t=x$) $\int_{0}^1f(x^\frac{1}{n})\ dx \leq n \int_0^1f(x)dx$ lo que significa que $n$ satisface la necesaria desigualdad; desde $c$ es, por definición, al menos dicho número, esto implica $c \leq n$ y esto junto con lo que usted hizo soluciona el problema