$\int\frac{dx}{x(x+1)(x+2)\cdot\space...\space\cdot(x+n)}$

Question

He tratado de resolver explícitamente la siguiente integral indefinida:

$$\int\frac{dx}{x(x+1)(x+2)\cdot\space...\space\cdot(x+n)}$$

Intenté realizar la descomposición parcial de la fracción, y después de sustituir algunos n naturales, pensé que el Teorema del Binomio podría ayudar aquí, pero no pude averiguar cómo utilizarlo.

¡Gracias y que tenga un buen día/noche!

Answer 1

Dejemos que

$\begin{array}\\ I_n &=\int\dfrac{dx}{x(x+1)(x+2)\cdot\space...\space\cdot(x+n)}\\ &=\int\dfrac{dx}{\prod_{k=0}^n (x+k)}\\ \end{array}$

Probemos con fracciones parciales.

Si $\dfrac1{\prod_{k=0}^n (x+k)} =\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{x+k}$ , entonces $1 =\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k\prod_{j=0}^n (x+j)}{x+k} =\sum_{k=0}^n a_k\prod_{j=0,j \ne k}^n (x+j)$ .

Configurar $x = -m, 0 \le m \le n$ ,

$\begin{array}\\ 1 &=\sum_{k=0}^n a_k\prod_{j=0,j \ne k}^n (-m+j)\\ &= a_m\prod_{j=0,j \ne m}^n (-m+j)\\ &= a_m\prod_{j=0}^{m-1} (-m+j)\prod_{j=m+1}^n (-m+j)\\ &= a_m(-1)^m\prod_{j=0}^{m-1} (m-j)\prod_{j=m+1}^n (j-m)\\ &= a_m(-1)^m\prod_{j=1}^{m} j\prod_{j=1}^{n-m} j\\ &= a_m(-1)^mm!(n-m)!\\ \end{array}$

así que $a_m =\dfrac{(-1)^m}{m!(n-m)!}$ .

Por lo tanto,

$\begin{array}\\ I_n &=\int\dfrac{dx}{\prod_{k=0}^n (x+k)}\\ &=\int \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{x+k}dx\\ &=\sum_{k=0}^n a_k\int \dfrac1{x+k}dx\\ &=\sum_{k=0}^n a_k(\ln(x+k)+c_k)\\ &=\sum_{k=0}^n a_k\ln(x+k)+C\\ \end{array}$

Esto es indudablemente conocido, pero yo lo resolví de forma independiente.