Demostrar que si $f : M M$ conserva una probabilidad $\mu$ entonces para cualquier $k \geq 2 $ $f^k$ conserva $\mu$

Question

Demostrar que si $f : M M$ conserva una probabilidad $\mu$ entonces para cualquier $k \geq 2$ , $f^k$ también conserva $\mu$ . ¿Es cierto lo contrario?

Intento: La primera parte hizo la inducción en $k$ . El caso $k = 1$ se mantiene porque $f$ preserva la probabilidad. asumiendo que el resultado se mantiene para $k$ , para $k + 1$ que tenemos: $\mu(f^{-k-1}(A))=\mu(f^{-k}(f^{-1}(A)))=\mu(f^{-1}(A))=\mu(A)$ . ¿Esta parte es correcta? Aparentemente, para el caso inverso, utilice sólo ese $\mu(f^{-1}(A))=\mu(f^{-2}(f^{-1}(A)))=\mu(f^{-3}(A))=\mu(A)$ .

Answer 1

De hecho, tales mapas son cerrados bajo composición. Tu prueba es correcta. Todo depende de $$(g\circ f)^{-1}(A) = f^{-1}(g^{-1}(A))$$