Si la propiedad no es verdadera habría tres caminos $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ cada uno de los cuales se encuentra con los otros dos en al menos un vértice pero sin tener un vértice común, excepto los puntos finales.
Dejemos que $G^\prime$ sea el subgrafo formado únicamente por los vértices y aristas que componen los caminos $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ .
Este gráfico $G^\prime$ es planar porque no contiene $K_{3,3}$ y no $S_5$ . Así que incrústelo en $\Bbb R^2$ .
La región exterior $F$ tiene la propiedad de que $\Bbb R^2\setminus\overline F$ es un conjunto abierto conectado en $\Bbb R^2$ . De hecho, la única forma de que no se pueda conectar es que exista un punto $w\in\Bbb R^2\setminus F$ desconectándolo, pero este punto sería común a los tres caminos y diferente a los puntos finales.
Por lo tanto, el límite de $w\in\Bbb R^2\setminus F$ es un ciclo que incluye $u$ y $v$ y nunca pasa dos veces por los mismos vértices. Pero cualquier ciclo de este tipo define dos caminos (el camino "superior" y el camino "inferior", si ponemos $G^\prime$ horizontalmente en el plano) que se encuentran sólo en los puntos extremos.