¿La sustitución de$\ge$ por$>$ lleva también a una estrictamente desigualdad? (desigualdad integral)

Question

Sé que si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función integrable tal que $f(x) \ge 0,~\forall~x \in [a,b],$ entonces $$\int\limits_a^b f(x) \mathrm{d}x \ge 0.$$

¿Qué sucede si se sustituye la condición de $f(x) \ge 0$ por la condición de $f(x)>0$? Será el último de la desigualdad ser estrictos?

He intentado utilizar las sumas de Riemann, pero teniendo el límite de vueltas $>$ a $\ge$.

Answer 1

La respuesta es sí.

Desde $f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$, el Lebesgue integrabilidad criterio implica que el conjunto de discontinuidades $D$ de $f$ tiene medida de Lebesgue cero.

En particular, existe $x_0 \in \langle a,b\rangle$ tal que $f$ es continua en a$x_0$.

El uso de $\varepsilon = \frac{f(x_0)}2 > 0$ en la definición de continuidad de los rendimientos que existe $\delta > 0$ tal que para todos los $x \in [a,b]$ tiene $$x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \implies f(x) > \frac{f(x_0)}2$$ En particular $$\int_{[a,b]} f \ge \int_{[x_0 - \delta, x_0 + \delta]} f \ge 2\delta \cdot \frac{f(x_0)}2 = \delta f(x_0) > 0$$

Answer 2

Si la función continua, entonces usted puede utilizar un menor de delimitación argumento de la siguiente manera:

1. Si $f(x) > 0$, hay un pequeño suficientemente $\epsilon>0$ tal que $f(x)>\epsilon$ para todos los $x\in [a,b]$,
2. Usted puede límite inferior $$\int_a^b f(x) \mathrm d x \geq \int_a^b \epsilon \mathrm d x = \epsilon (b-a),$$
3. Si $b\neq a$, $b-a>0$, y se tiene el resultado.

---

EDITAR:

Si no es continua, tomar un intervalo de $[a',b']$ dentro $[a,b]$ tal que $f(x)$ es continua en a$[a',b']$, entonces usted puede utilizar el mismo argumento para decir que $$\int _{a'}^{b'} f(x) \mathrm d x >0,$$ a continuación, utilice el nonnegativity de $f(x)$ a decir que $$\int_a^b f(x) \mathrm d x \geq \int_{a'}^{b'} f(x) \mathrm d x > 0.$$