Subespacios invariantes no ortogonales

Question

Dejemos que $\Gamma\subset\mathrm O(\Bbb R^n)$ ser un finito grupo de matrices ortogonales. Sea $U_1,U_2\subseteq\Bbb R^n$ ser dos invariante irreducible subespacios con respecto a $\Gamma$ con $U_1\cap U_2=\{0\}$ que son no ortogonales entre sí, es decir, hay $u_i\in U_i$ con $\langle u_1,u_2\rangle \not=0$ .

Yo era escéptico sobre la existencia de los mismos, pero se pueden encontrar ejemplos aquí en una pregunta mía anterior. Pensando un poco en tales subespacios, llegué a la siguiente pregunta:

Pregunta: ¿Es cierto que:

1. $\dim U_1=\dim U_2=:d$ .
2. Todos los demás $d$ -subespacio dimensional $U\subset U_1\oplus U_2$ con $U\cap U_i=\{0\}$ es un subespacio invariante irreducible también.
3. Hay dos ortogonal $d$ -subespacios invariantes irreducibles de dimensiones $\bar U_1,\bar U_2\subset U_1\oplus U_2$ .

---

Actualización

La segunda afirmación no es correcta, sino que debe ser sustituida por otra. Una versión se dio en la respuesta de Joppy . También puedo pensar en algo así: cada $u\in U_1\oplus U_2\setminus\{0\}$ está contenida exactamente en una $d$ -subespacio invariante irreducible $U\subset U_1\oplus U_2$ .

Answer 1

Permítanme traducir esto a un lenguaje más común de la teoría de la representación. Decir que se tiene un subgrupo finito $\Gamma \subseteq O(\mathbb{R}^n)$ es el mismo que los siguientes datos:

1. Un grupo finito $G$ ,
2. Un espacio vectorial real de dimensión finita $V$ equipado con una representación $\rho: G \to \operatorname{GL}(V)$ y
3. Un producto interno $\langle -, - \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ que es $G$ -invariante, en el sentido de que $\langle \rho(g) v, \rho(g) u \rangle = \langle v, u \rangle$ para todos $g \in G$ y $u, v \in V$ .

Dejemos que $\{I_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$ sea un conjunto completo de representaciones reales irreducibles de $G$ . Simplemente sabiendo que $V$ es una representación real significa que hay una canónico descomposición de $V$ en componentes isotípicos, $V = \bigoplus_{\lambda} V_\lambda$ , donde $\lambda$ se extiende sobre algún conjunto de indexación para las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles de $G$ . Aquí el subespacio $V_\lambda$ se define como la suma de todas las subrepresentaciones de $V$ isomorfo a $I_\lambda$ . Lo interesante es que estos $V_\lambda$ debe sean ortogonales entre sí.

Lema: Supongamos que $U, W \subseteq V$ son representaciones irreducibles, y $\langle U, V \rangle \neq 0$ . Entonces $U \cong V$ como representaciones reales.

Prueba: Desde $\langle U, V \rangle \neq 0$ el mapa $\phi: U \to V^*, \phi(u)(v) = \langle u, v \rangle$ es distinto de cero. Además, el $G$ -La invariabilidad del producto interior garantiza que $\phi$ es un mapa de representaciones. Dado que $V \cong V^*$ como representaciones, hemos encontrado un $G$ -mapa equivariante $U \to V$ . Por el lema de Schur, $U \cong V$ .

Este lema muestra que todos los componentes isotípicos $V_\lambda$ debe sean ortogonales bajo la $G$ -producto interno invariante. Las respuestas al resto de tus preguntas se derivan básicamente de conocer esa descomposición:

Respuestas a las preguntas: dejar $U_1, U_2$ sean subrepresentaciones irreducibles de $V$ , de tal manera que $\langle U_1, U_2 \rangle \neq 0$ . Entonces:

1. $\dim U_1 = \dim U_2$ ya que por lo anterior deben ser representaciones isomorfas.
2. Todos los demás no cero $G$ -invariante ( $\dim U_1$ )-subespacio dimensional de $U_1 \oplus U_2$ debe ser isomorfo a $U_1$ como representación, y por lo tanto irreducible. ( $U_1 \oplus U_2$ sigue estando dentro del componente isotípico).
3. El complemento ortogonal de $U_1$ dentro de $U_1 \oplus U_2$ será una subrepresentación isomórfica y ortogonal a $U_1$ .

Answer 2

Dejemos que $T\in O(V)$ sea una matriz ortogonal donde $\dim V>0$ . Escribe su polinomio característico $P_T$ como $$P_T=\det(XI-T)=\prod_{i=1}^k P_i^{m_i},$$ donde el $P_i$ son factores irreducibles distintos y el $m_i>0$ sus multiplicidades. Porque $P_T$ es ortogonal es diagonalizable, por lo que su polinomio mínimo es $\prod_{i=1}^kP_i$ .

Para cada $i$ definir $U_i:=\ker P_i$ y que $T_i$ denota la restricción de $T$ a $U_i$ . Entonces, para cada $i$ el polinomio mínimo de $T_i$ es precisamente $P_i$ .

Propuesta: El $U_i$ son ortogonales entre sí $T$ -y subespacios invariantes y $V=\bigoplus_{i=1}^k U_i$ .

Prueba. Véase la proposición 4.7 del enlace.

Por cada $u\in V$ dejar $U_u$ denotan el subespacio generado por el conjunto $\{T^k(u):\ k\geq0\}$ , donde $T^0:=I$ . Entonces $U_u$ es el más pequeño $T$ -subespacio invariable que contiene $u$ . Está claro que

1. Si $U$ es un $T$ -y un subespacio invariable y $u\in U$ entonces $U_u\subset U$ .
2. Si $U$ es un irreducible $T$ -y un subespacio invariable y $u\in U$ es distinto de cero, entonces $U_u=U$ .

Porque el $P_i$ son coprimas entre sí, si a $T$ -subespacio invariable $U$ contiene algún elemento $$u=\sum_{i=1}^ku_i \qquad\text{ with }\ u_i\in U_i\ \text{ for each }1\leq i\leq k,$$ entonces también contiene $u_i$ para cada $1\leq i\leq k$ y, por lo tanto, contiene el $T$ -subespacio invariable $U_{u_i}\subset U_i$ . De ello se desprende que cada irreducible $T$ -es un subespacio de algún $U_i$ . Porque el $U_i$ son ortogonales por pares se deduce que los irreducibles no ortogonales $T$ -Los subespacios invariantes son subespacios de la misma $U_i$ para algunos $i$ .

Así que dejemos $U_1$ y $U_2$ sean dos irreducibles no ortogonales $T$ -subespacios invariantes de $U$ con $U_1\cap U_2=0$ . Entonces, sin pérdida de generalidad, el polinomio mínimo de $T$ es un polinomio irreducible $P$ .

Para $u\in U$ dejar $T_u$ denota la restricción de $T$ a $U_u$ . Entonces $P(T_u)=0$ por lo que el polinomio mínimo de $T_u$ divide $P$ . Pero $P$ es irreducible, por lo que el polinomio mínimo de $T_u$ también es $P$ (a menos que $u=0$ , entonces es $1$ ). Esto implica que $\dim U_u=\deg P$ y, por tanto, todo irreducible no nulo $T$ -El subespacio invariante tiene dimensión $\deg P$ . En particular $\dim U_1=\dim U_2=\deg P$ , lo que demuestra la primera afirmación.

La segunda afirmación es válida si $d=1$ pero falla si $d>1$ :

Si $d=1$ entonces para cada $1$ -subespacio dimensional $U\subset U_1\oplus U_2$ tenemos $U=\langle u\rangle=U_u$ para cada uno de los valores no nulos de $u\in U$ . Esto demuestra que cada $1$ -subespacio dimensional de $U_1\oplus U_2$ es $T$ -invariante, y por supuesto es irreducible.

Para $d=2$ esto falla; un contraejemplo para $n=4$ viene dada por la matriz $$T:=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&\hphantom{-}0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&\hphantom{-}0 \end{pmatrix},$$ con el irreducible no ortogonal $T$ -subespacios invariantes $$U_1:=\langle e_1,e_2\rangle \qquad\text{ and }\qquad U_2:=\langle e_1+e_3,e_2+e_4\rangle.$$ Aquí, el $2$ -subespacio dimensional $\langle e_3,e_4\rangle\subset U_1\oplus U_2$ es no $T$ -invariante.

Qué es es que para cada $u\in U_1\oplus U_2$ el subespacio $U_u$ es irreducible y $T$ -y, además, que todo irreducible (distinto de cero) $T$ -subespacio invariable de $U_1\oplus U_2$ es de esta forma.

Tenga en cuenta que $d>2$ no se da sobre los números reales, porque no hay polinomios irreducibles $P\in\Bbb{R}[X]$ con $\deg P>2$ .

3. Hay dos ortogonal $d$ -subespacios invariantes irreducibles de dimensiones $\bar U_1,\bar U_2\subset U_1\oplus U_2$ .

Esto es cierto, e incluso más fuerte; existe una $d$ -dimensional $T$ -subespacio invariable $U_2'\subset U_1\oplus U_2$ que es ortogonal a $U_1$ . Para $d=1$ esto es más fácil de ver:

Si $d=1$ entonces para $i\in\{1,2\}$ dejar $u_i\in U_i$ con $||u_i||=1$ . Entonces $U_i=\langle u_i\rangle$ y el ajuste $$u:=u_1-\frac{1}{\langle u_1,u_2\rangle}u_2 \qquad\text{ yields }\qquad \langle u_1,u\rangle=0,$$ así que $U_u=\langle u\rangle$ es un subespacio de este tipo.

Para $d=2$ Creo que podemos imitar la construcción para $d=1$ con algunos ajustes, pero no tengo una prueba (todavía).

Answer 3

He aquí una prueba elemental de $\dim U_1=\dim U_2$ :

Prueba.

Denota por $\pi_i$ el ortoproyector en $U_i$ . No es difícil ver que $\pi_i$ se desplaza con todos los $T\in\Gamma$ (por ejemplo, observando sus eigenspaces). Entonces, $\pi_2 (U_1)$ es $\Gamma$ -invariante:

$$T(\pi_2 (U_1))= \pi_2(TU_1)=\pi_2(U_1),\quad\text{for all $ T\in\Gamma $}.$$

Ahora, $\pi_2(U_1)\subseteq U_2$ es un $\Gamma$ -subespacio invariable de $U_2$ . Desde el $U_i$ no son ortogonales, $\pi_2(U_1)\not=0$ . Pero como $U_2$ es irreducible, debemos tener $\pi_2(U_1)=U_2$ ya.

De forma equivalente, se ve que $\pi_1(U_2)=U_1$ . Dado que las proyecciones pueden como máximo disminuir la dimensión, tenemos $\dim(U_1)=\dim(U_2)$ .

$\square$