Evaluar : $\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1-x^2} dx $

Question

Evalúe: $$\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1-x^2} dx $$

La respuesta es $\pi$

Mi intento

$x = \sin(u), dx = \cos(u)du$

$$\int_{-1}^{1} 2 \sqrt{1-\sin^2(u)}\cos(u)du = \int_{-1}^{1} 2 \cos^2(u)du =\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}(1+\cos(2u))du = \bigg(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\sin(2u) \bigg)\Bigg|_{-1}^{1}$$

¿confundido cómo proceder?

Answer 1

Geométricamente , el círculo unitario puede representarse como $$x^2+y^2=1$$

así que $$y=\pm \sqrt{1-x^2}$$ y su caso $y=+ \sqrt{1-x^2}$

Así que $\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2} dx $ es el área de un semicírculo (superior), que es $\frac{\pi}{2}$ . Así que $$2 \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}dx =2 \frac{\pi}{2}=\pi$$

Answer 2

Antes de evaluar la integral definida, hay que hacer la siguiente sustitución inversa: $$ u=\arcsin{x} $$

Y utilizar esta identidad trigonométrica ( $-\frac{\pi}{2}\le u\le \frac{\pi}{2} \implies \cos{u}\ge0$ ):

$$ \sin{2u}=2\sin{u}\cos{u}=2\sin{(\arcsin{x})}\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin{x})}}=2x\sqrt{1-x^2} $$

También olvidaste que tienes un $2$ frente a su integral:

$$ 2\left[\frac{\arcsin{x}}{2}+x\sqrt{1-x^2}\right]_{-1}^{1}=\\ 2\left(\frac{\arcsin{(1)}}{2}+1\cdot\sqrt{1-1^2}-\frac{\arcsin{(-1)}}{2}-1\cdot\sqrt{1-(-1)^2}\right)=\\ 2\left(\frac{\pi}{4}+0+\frac{\pi}{4}-0\right)=2\frac{2\pi}{4}=\frac{4\pi}{4}=\pi. $$