Ayuda para encontrar el derivado de$f(x) = \cos{\left(\sqrt{e^{x^5} \sin{x}}\right)}$

Question

Estoy tratando de encontrar la derivada de $f(x) = \cos(\sqrt{(e^{x^5} \sin(x)})$.

Sigo recibiendo la respuesta equivocada, y no estoy seguro de lo que estoy haciendo mal.

$$\frac{d}{dx} e^{x^5} = e^{x^5} \cdot 5x^4$$

$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$$

$$\frac{d}{dx} (e^{x ^5} \cdot \sin(x)) = [(e^{x^5} \cdot 5x^4) \cdot \sin(x)] + [\cos(x) \cdot e^{x^5}]$$

$$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$\frac{d}{dx} \sqrt{(e^{x^5} \sin(x))} = \frac{[(e^{x^5} \cdot 5x^4) \cdot \sin(x)] + [\cos(x) \cdot e^{x^5}]}{2 \sqrt{e^{x^5} \sin(x)}}$$

Por lo tanto, desde el $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$, he

$$ f'(x) = -\sin(\sqrt{e^{x^5} \sin(x)}) \cdot \frac{[(e^{x^5} \cdot 5x^4) \cdot \sin(x)] + [\cos(x) \cdot e^{x^5}]}{2 \sqrt{e^{x^5} \sin(x)}}$$

Sin embargo, el sitio web que estoy usando, "Entramado", dice que esto es incorrecto.

Answer 1

Diferencié tu función y no miré tu resultado. Como puedes ver, son idénticos:

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}\left[\cos\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)\right] &=-\sin{\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)}\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)'\\ &=-\sin{\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)}\frac{1}{2\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}}\left(e^{x^5}\cdot\sin{x}\right)'\\ &=-\sin{\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)}\frac{1}{2\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}}\left[\left(e^{x^5}\right)'\cdot\sin{x}+e^{x^5}\cdot\left(\sin{x}\right)'\right]\\ &=-\sin{\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)}\frac{1}{2\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}}\left[e^{x^5}\left(x^5\right)'\cdot\sin{x}+e^{x^5}\cdot\cos{x}\right]\\ &=-\sin{\left(\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}\right)}\frac{1}{2\sqrt{e^{x^5}\cdot\sin{x}}}\left[5e^{x^5}x^4\cdot\sin{x}+e^{x^5}\cdot\cos{x}\right] \end {align} $$

Tus habilidades de diferenciación están bien. Es el problema con el sitio web que está demandando.

Answer 2

Este es un caso donde la diferenciación logarítmica puede hacer la vida más fácil. $$ \ frac {d} {dx} \ left [\ cos \ left (\ sqrt {e ^ {x ^ 5} \, \ sin (x)} \ right) \ right] = - \ sin {\ left ( \ sqrt {e ^ {x ^ 5} \, \ sin (x)} \ right)} \, \, \ frac {d} {dx} \ left [\ sqrt {e ^ {x ^ 5} \, \ sin (x)} \ derecho] $$

Deje $$f=\sqrt{e^{x^5}\,\sin(x)}\implies \log(f)=\frac 12 x^5 +\frac 12 \log(\sin(x))$ $ $$\frac {f'}f=\frac{1}{2} \left(5 x^4+\cot (x)\right)\implies f'=\frac{1}{2} \left(5 x^4+\cot (x)\right)\sqrt{e^{x^5}\,\sin(x)}$ $

PS

Answer 3

Puede ser un poco excesivo, pero en realidad puedes integrar tu resultado y mostrar que es equivalente a lo que empezaste con

PS

dejar

PS

así que la integral es simplemente

PS

que es con lo que empezaste.

Answer 4

Utilice la regla de la cadena:

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cos(\sqrt{e^{x^5}\sin x})$

$=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(\sqrt{e^{x^5}\sin x})}\cos(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(e^{x^5}\sin x)}(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}(e^{x^5}\sin x)$

$=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(\sqrt{e^{x^5}\sin x})}\cos(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(e^{x^5}\sin x)}(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \left(\sin x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^{x^5}+e^{x^5}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x\right)$

$=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(\sqrt{e^{x^5}\sin x})}\cos(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(e^{x^5}\sin x)}(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot \left[\sin x\left(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(x^5)}e^{x^5}\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}x^5\right)+e^{x^5}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x\right]$

$=-\sin(\sqrt{e^{x^5}\sin x})\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{e^{x^5}\sin x}}\cdot \left[\sin x\cdot e^{x^5}\cdot 5x^4+e^{x^5}\cdot\cos x\right]$