En cuanto a la afirmación de Goldstein de que $\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}}$

Question

De Goldstein:

... La mecánica de la partícula está contenida en la segunda ley de Newton del movimiento, que establece que existen marcos de referencia en los cuales el movimiento de la partícula se describe mediante la ecuación diferencial $$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \equiv \dot{\mathbf{p}},$$ o $$\mathbf{F} = \frac{d}{dt}\left(m\mathbf{v}\right).$$ En la mayoría de los casos, la masa de la partícula es constante y [la última ecuación] se reduce a $$\mathbf{F} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\mathbf{a}\textrm{...}$$

Lo que Goldstein está diciendo me preocupa porque implica que $\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}}$ funciona para una partícula de masa variable en el tiempo y eso contradice la respuesta de Ján Lalinský a esta pregunta: Segunda ley de Newton para sistemas de masa variable.

¿Qué está pasando aquí?

Edición: Algunas personas piensan que una partícula que pierde masa y que no va a ningún lado--simplemente desaparece--no es una ficción útil para resolver problemas. Considera una pelota que está emitiendo masa de forma isotrópica mientras que está siendo empujada por alguna fuerza. Al analizar el movimiento de esta pelota no es necesario considerar el hecho de que en realidad se esté emitiendo material, todo lo que se necesita es el hecho de que la pelota está perdiendo masa. Aquí podemos simplemente usar $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ en lugar de $\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}}$, ¿no?

Answer 1

Creo que básicamente existen cuatro piezas en el rompecabezas para explicar por qué este error frecuente (por supuesto, puede que me esté perdiendo algo):

• es costumbre desde tiempos antiguos expresar la tradicional segunda ley de Newton en términos de cambio de momento, como originalmente lo hizo él (cantidad de movimiento). A pesar de que esta formulación tradicional solo se aplica a sistemas de masa constante y no tiene más generalidad que si se expresa la ley en términos de cambios de velocidad del cuerpo. Quizás una ventaja de la formulación en momento es que se aplica de manera más directa a cuerpos extendidos que no tienen una sola velocidad, pero sí tienen un solo momento. Pero incluso para esos cuerpos, la segunda ley se puede describir usando cambios de velocidad: si el cuerpo no tiene una sola velocidad, se puede utilizar la velocidad del centro de masa.

• ya que en la relatividad especial $\mathbf F = m\mathbf a$ no se cumple en ningún sentido obvio, fue necesario encontrar algún equivalente válido y en las décadas posteriores a la publicación de Einstein en 1905, se aceptó generalmente que la forma preferida de hacerlo es tratar de darle a la expresión tradicional $$ \mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt} $$ un papel más no trivial, al permitir que la $m$ en $\mathbf p = m\mathbf v$ sea una cantidad variable que es una función de la velocidad del cuerpo. Más tarde en el siglo XX y hoy en día, esto se desaconseja ampliamente por parte de los físicos de partículas, por algunas razones válidas, ya que si bien el método es internamente lógicamente coherente, para algunas personas la explicación de la relatividad especial se vuelve más fácil y clara al no depender del concepto de masa relativista.

• La mayoría de los cursos de mecánica no hacen justicia al análisis y ejemplos de sistemas de masa variable, esta área a menudo se pasa por alto en los cursos y libros de texto para físicos.

• Dada la situación anterior tanto en la enseñanza de la mecánica no relativista como en la relativista, es probable que las personas reconstruyan la lógica real de la segunda ley de Newton de esta manera incorrecta:

porque lo escribimos de una manera que sugiere que se puede llevar a cabo la diferenciación de la masa en función del tiempo ($F = dp/dt$), esta ecuación probablemente se aplique incluso si la masa $m$ cambia en el tiempo. (INCORRECTO)

Cualquiera que alguna vez haya derivado la ecuación de movimiento de un cohete sabe que los sistemas de masa variable necesitan un análisis cuidadoso en términos de la interacción de sistemas de masa constante, y $\mathbf F = \frac{d\mathbf p }{dt}$ no es más general que $\mathbf F = m\mathbf a$ - se aplica solo a sistemas de masa constante.

Answer 2

Esa ecuación, como la describen Goldstein y muchos otros, está equivocada, porque no es invariante galileana cuando la masa es variable. Como ejemplo, considera un furgón de arena con un agujero en la parte inferior y analiza su movimiento utilizando la ecuación de Goldstein desde un marco de referencia donde el furgón está inicialmente en reposo y desde un marco de referencia donde el furgón se mueve horizontalmente. ¿Qué sucede?

Dos observaciones:

1. La relación entre las dos ecuaciones dadas por Goldstein es correcta en el sentido contrario: si la masa es constante, entonces puedes escribir $\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$ como $\boldsymbol{F} = \dot{\boldsymbol{p}}$.
2. En la mecánica newtoniana, no hay masa variable: la masa simplemente se mueve de un lugar a otro, y los problemas de masa variable se analizan mejor considerando todo el sistema con una masa total constante (como se hace al derivar la ecuación de cohete correcta). Considerar solo una parte del sistema con masa variable es una receta para errores (se puede hacer, pero ¿por qué seguir ese terreno resbaladizo?).

Para más información sobre el problema de masa variable en la mecánica newtoniana, consulta por ejemplo Plastino (1990), Pinheiro (2004) y el libro de Spivak Physics for Mathematicians, Mechanics I.

Answer 3

Creo que la pregunta se trata completamente de la afirmación

En la mayoría de los casos, la masa de la partícula es constante...

Aquí Goldstein está hablando explícitamente sobre una partícula en el ámbito de la Física Clásica (el título del libro, aunque los capítulos posteriores incluyen la relatividad especial) y la Sección $1.1$ tiene el título Mecánica de una partícula.

Goldstein define la posición de su partícula con un solo vector de radio desde algún origen $\vec r$ lo que me implica que la partícula es una masa puntual.

Más adelante Goldstein refuerza mi idea de que una partícula es un punto al definir el momentum angular como $\vec L = \vec r \times \vec p$, es decir, $\vec r$ y $\vec p= m \vec v$ están bien definidos.

En la Sección $1.2$ Mecánica de un sistema de partículas Goldstein empieza por distinguir entre fuerzas externas e internas lo que nuevamente implica que una partícula es un punto.

Esto me lleva a creer que Goldstein ha elegido una mala redacción, En la mayoría de los casos, la masa de la partícula es constante, o dudo en escribir que Goldstein está equivocado, una conclusión que se ve reforzada por la redacción de las derivaciones $1$ en ese mismo capítulo:

Demuestra que para una sola partícula con masa constante la ecuación de movimiento implica la siguiente derivada para la energía cinética [$T$]:
$$\dfrac {dT}{dt} = \vec F \cdot \vec v$$ mientras que si la masa varía con el tiempo la expresión correspondiente es $$\dfrac {d(mT)}{dt} =\vec F \cdot \vec p$$

Finalmente en el Ejercicio $13$ se debe derivar la forma correcta de la ecuación del cohete con la velocidad de los gases escapados respecto al cohete, lo que requiere considerar un número de partículas juntas y tener fuerzas internas y externas.

En la mayoría de los casos, la masa de la partícula es constante... debería ser reemplazado por algo como Dado que la masa de una partícula es constante...