Estoy atascado en la demostración de muchos de los teoremas que se discuten en la teoría de números. La mayoría de los teoremas que he visto en teoría de números hasta ahora son los que ya se muestra cómo probar, pero no entiendo el enfoque general para descubrir cómo probarlos.
Digamos, por ejemplo, que queremos demostrar que hay infinitos números primos. Conozco los métodos básicos de demostración de enunciados, como las pruebas directas, las pruebas por contradicción, etc., así que podríamos suponer que hay un número finito de números primos $p_1, p_2, \cdots,p_k$ con $p_1 < p_2 <\cdots < p_k$ por contradicción. Entonces, en el siguiente paso de la prueba, se define un nuevo número entero n como $n = p_1\cdot p_2\cdot\space\cdots\space\cdot p_k + 1$ y porque es mayor que $p_k$ es compuesto ya que asumimos que hay un número finito de primos. Pero lo que no entiendo es cómo $n = p_1\cdot p_2\cdot\space\cdots\space\cdot p_k + 1$ surgió al azar.
Entiendo que continuando la prueba finalmente se llega a la contradicción de que 1 es compuesto, pero el problema es que no sé por dónde empezar sólo en general.
Por ejemplo, si quisiera demostrar que hay infinitos primos de la forma $6\cdot k + 5$ para algún número entero k, ¿por dónde empezaría? He intentado hacer algo como definir $n = (6k_1 + 5)(6k_2 + 5)\cdots +(6k_r+5) + 5$ para $r$ primos de la forma ya que estoy asumiendo que n podría ser un nuevo primo de la forma tal vez (no muy seguro), pero a partir de ahí, nada parece funcionar y no puedo obtener una contradicción de ninguna manera. E incluso si quisiera obtener una contradicción, ¿cómo podría saber qué ¿acabará siendo la contradicción al final?
¿Alguien puede ayudarme con esto? Gracias de antemano.
