¿Cuántos números del formulario$m^2 + \sqrt{2} n^2$ están entre$1 \times 10^6$ y$2 \times 10^6$?

Question

Tengo una puramente computacional pregunta de hoy. ¿Cuántos números de la forma $m^2 + \sqrt{2} n^2$ con $m,n \in \mathbb{Z}$ entre $1 \times 10^6$ e $2 \times 10^6$ ?

$$ \# \big\{ (m,n): 1 \times 10^6 < m^2 + \sqrt{2} \, n^2 < 2 \times 10^6 \big\} =\; ? $$

The asymptotic answer for this sequence of numbers can be found using Weyl's law, for exmaple that:

$$ \# \big\{ (m,n) : 0 < m^2 + \sqrt{2} \, n^2 < X \big\} \sim \frac{\pi}{4 \sqrt{2}} \, X$$

This result is saing that numbers of the form $m^2 + \sqrt{2} \, n^2$ are roughtly linearly distributed on the real line $\mathbb{R}$.

The Weyl's law estimate gives $\frac{\pi}{4\sqrt{2}} \times 10^6 \aprox 555,630 + 0.36726\dots$ tal vez con un ordenador, es posible obtener una respuesta exacta? E. g. usando Python o sage.

Answer 1

COMENTARIO.- Sin calculadora, el problema es tedioso, pero no difícil.

Los puntos necesarios encerrado entre las elipses de ecuaciones $m^2 + \sqrt{2} n^2=10^6$ e $m^2 + \sqrt{2} n^2=2\cdot10^6$. Definir los siguientes conjuntos en el primer cuadrante: $$A=\{(0,y)\text { with } y\gt0 \}\\B=\{(x,0)\text { with } x\gt0 \}\\C=\{(x,y)\text { with } x\gt0,y\gt0 \}$$ By symmetry we have for the total number $$N de puntos $$N=2A+2B+4C$$ $UN$ has $573$ points and $B$ has $413$.

Uno tiene para el cálculo del conjunto $C$ $$\frac{\sqrt{10^6-m^2}}{\sqrt[4]2}\lt y\lt\sqrt[4]2\sqrt{10^6-m^2}\text { where } 1\le m\le1000$$ Assuming that @rogerl's comment above is true, there are $4\cdot660074+1972=\color{red}{2\space642\space268}$ puntos en total.

Answer 2

Primero de todo, quiero graficar la función en los términos de $x$ e $y$ en lugar de $m$ e $n$ y me esta gráfica:

gráficamente mediante: Geogebra

El gráfico muestra una elíptica Paraboloide que tiene un valor mínimo de cero, subiendo a $\infty$; sin Embargo, el gráfico muestra una función en $\mathbb R$ no $\mathbb Z$ (de curso). así pues, hemos de encontrar la solución para $m$ e $n$ que son números enteros que tienen un resultado (después de aplicar la fórmula) se incluye entre los $1 \times 10^6$ e $2 \times 10^6$ solamente.

Y para hacer esto tenemos que averiguar el número de enteros incluidos en $[1 \times 10^6,2 \times 10^6]$ antes de hacer nada, y que es simplemente una $1 \times 10^6 +1$ (bec. millones se incluye, simplemente no podemos restar). A continuación, debemos obtener el valor mínimo y el valor máximo que tanto $m$ e $n$ puede tener.

El valor mínimo para cada uno de ellos debe ser cero; como si uno de ellos llegó a su máximo valor de la otra debe ser cero. pero, obteniendo el máximo valor será un poco más complicado; teniendo en cuenta que cada uno de ellos es cero independientemente puede ayudar: $$m^2 + \sqrt{2} \, n^2=2 \times 10^6 \\ m^2=2 \times 10^6 \\ m = \sqrt{2 \times 10^6} = 1414.213562 \ \ \ \ \ (m \notin \mathbb Z) \\ \lfloor m \rfloor = 1414$$ Habiendo $m^2$ como valor máximo ($2 \times 10^6$) no ayuda en la obtención de un número entero por lo suelos el resultado puede ayudar; como el suelo, el resultado dará un número entero que no es más que $2 \times 10^6$. Ahora mismo a obtener el máximo valor de $n$ ($m=0$): $$m^2 + \sqrt{2} \, n^2=2 \times 10^6 \\ \sqrt{2} \, n^2 = 2 \times 10^6 \\ n = \sqrt{\frac{2 \times 10^6}{\sqrt{2}}} = 1189.207115 \ \ \ \ \ (n \notin \mathbb Z) \\ \lfloor n \rfloor = 1189$$

Ahora tenemos el mínimo y el máximo de los valores para cada una de las $m$ e $n$, y esto se puede resumir de la siguiente manera:
$$0 \le m \le 1414 \\ 0 \le n \le 1189$$ Ahora necesitamos el valor mínimo para cada uno de ellos cuando el otro es cero, y eso es posible mediante la consideración de $n=0$:
$$m^2 + \sqrt{2} \, n^2=1 \times 10^6 \\ m^2=1 \times 10^6 \\ m = \sqrt{1 \times 10^6} = 1000$$ y, de nuevo, por considerar $m=0$:
$$m^2 + \sqrt{2} \, n^2=1 \times 10^6 \\ \sqrt{2} \, n^2 = 1 \times 10^6 \\ n = \sqrt{\frac{1 \times 10^6}{\sqrt{2}}} = 840.8964153 \ \ \ \ \ (n \notin \mathbb Z) \\ \lceil n \rceil = 841$$ Sin embargo, $n$ puede no ser $1000$ (por ejemplo) cuando $m=800$. así que, ¿cómo podemos resolver este problema ?
Es fácil, sólo tenemos que encontrar una relación entre la $m$ e $n$, pero primero tenemos que encontrar el número de posibilidades que tiene (por ahora), que es de todos los posibles pares ordenados de $m$ e $n$ que es (mediante el producto Cartesiano):
$$\# \{ m: 0 \le m \le 1414 \} = 1414 + 1 \ \text{(bec. zero is included)} = 1415 \\ \# \{ n: 0 \le n \le 1189 \} = 1189 + 1 = 1190 \\ 1415 \times 1190 = 1683850$$ Ahora sabemos que el número de números de la forma $m^2+\sqrt{2} \, n^2$ entre $1 \times 10^6$ e $2 \times 10^6$ en el primer cuadrante es menos de $1683850$, pero ¿cuál es la diferencia entre el número necesario y este número ?

Podemos averiguar mediante el uso de la gráfica, piense en un área (en el plano $z=0$ en la gráfica 3d) que contiene todos los pares ordenados que necesitamos, será como una elipse que nos puede graficar de la siguiente manera:$10^6<x^2+ \sqrt{2} \, y^2 < 2 \times 10^6$ (desigualdad gráfico).
Yo solía $x$ en lugar de $m$ e $y$ en lugar de $n$ y obtuve esto:

Dos elipses, uno dentro de otro, con los límites que hemos calculado anteriormente, el área coloreada representa a todos los pares ordenados que satisfacen la fórmula, así que sólo tenemos que calcular el número de enteros pares.