Utilizando el teorema de Banach-Alaoglu sobre $L^1$

Question

Dejemos que $C$ sea un conjunto cerrado acotado en $L^1(0,1)$ . Dejemos que $h_n$ sea una secuencia en $C$ . Demostrar o refutar que para cada $f\in L^\infty(0,1)$ hay una subsecuencia $h_{n_k}$ tal que $$\int_0^t f(s) h_{n_k}(s) ds\to \int_0^t f(s) h(s) ds$$ por cada $t\in [0,1]$ y algunos $h\in C$ .

Answer 1

Dejemos que $$h_n=n\chi_{[0,1/n]} $$ y $f=1$ , $C=\left\{h_n\right\}$ .

Entonces $C$ está acotado y cerrado en $L^1(0,1)$ (ya que $\|h_n\|_{L^1}=1$ para todos $n$ ), y para cualquier subsecuencia $\left\{h_{n_k}\right\}$ tenemos, para cada $t\in (0,1]$ , $$\int_0^t h_{n_k}f=\int_0^tn_k\chi_{[0,1/n_k]}\to1$$ Ahora supongamos por contradicción que existe $h\in L^1(0,1)$ con $$\int_0^tf(s)h(s)\,ds=\int_0^th(s)\,ds=1\qquad \forall t\in (0,1] $$ Por continuidad absoluta de la integral de Lebesgue, $$\lim_{t\to 0}\int_0^t h(s)\,ds =0 $$ que es una contradicción.

Obsérvese que si no exigimos que la igualdad se mantenga para todos los $t \in [0,1]$ pero solo para, por ejemplo $t=1$ entonces este contraejemplo ya no funciona, ya que $h=h_n\in C$ (para cualquier $n$ ) es un límite admisible para cualquier subsecuencia. Sospecho que esta afirmación más débil podría ser realmente cierta, aunque no parece fácil de demostrar.

Además, no es difícil comprobar que se obtiene la misma contradicción si sustituimos $f=1$ con cualquier $f\in L^{\infty}$ tal que $$\lim_{k\to +\infty}n_k\int_0^{1/n_k}f\neq 0 $$ (por ejemplo, cualquier función continua con $f(0)\neq 0$ ).

Answer 2

Como ha señalado Lorenzo en su fantástica respuesta esta afirmación puede ser cierta si sólo queremos que la convergencia integral se mantenga en el intervalo fijo $[0,1]$ . Lo que sigue es una prueba parcial de esta afirmación, con la esperanza de que alguien pueda llevarla más allá, porque me parece una cuestión bastante interesante.

Dejemos que $K$ denotan el límite uniforme de la secuencia en $L^1(0,1)$ . Obsérvese que por la desigualdad de Holder, para cualquier $f\in L^\infty(0,1)$ y $n\in \mathbb N$ tenemos $$\left |\int_0^1h_nfdx\right|\leq K\|f\|_\infty.$$ Así, $\left(\int_0^1h_nfdx\right)$ es una secuencia acotada en $\mathbb R$ (o $\mathbb C$ ), por lo que por Bolzano-Weierstrass existe una subsecuencia convergente $\left(\int_0^1h_{n_k}fdx\right)$ convergiendo a algún $a\in \mathbb R$ con $|a|\leq K\|f\|_\infty$ .

Lo que queda por demostrar es que existe algún $h\in C$ tal que $$a=\int_0^1hfdx.$$

Observamos que $L^\infty(0,1)\subset L^1(0,1)$ y $L^\infty(0,1)$ separa los puntos de $L^1(0,1)$ . El teorema de la representación de Riesz implica, pues, que existe algún $h\in L^\infty(0,1)$ tal que $$\int_0^1hfdx=a.$$ Lamentablemente, este método no garantiza que $h\in C$ . Creo que, si es posible, se necesitarán algunas herramientas bastante sutiles para demostrar que podemos encontrar algún $h\in C$ .