Demuestre que$x^{y^x} > y^{x^y}$ para$x > y > 1$

Question

Demostrar que $x^{y^x} > y^{x^y}$ para $x > y > 1$.

Así que he probado hasta ahora:

$x^{y^x} > y^{x^y}$

$e^{(y^x)\ln x} > e^{(x^y)\ln y}$

$(y^x)\ln x > (x^y)\ln y$

$e^{\ln({(y^x)\ln x)}} > e^{\ln({(x^y)\ln y})}$

$x\ln(y) + \ln(\ln x) > y\ln x + \ln(\ln y)$

Y bueno, me quedé atrapado allí. Hay algo que estoy haciendo mal o que debo probar un enfoque diferente?

Editar:

$x\ln(y) - y\ln(x) > \ln(\ln y)-\ln(\ln x)$

$x\ln(y) - y\ln(x) > \ln{\left(\frac{\ln y}{\ln x}\right)}$

$e^{x\ln y - y\ln x} > \frac{\ln y}{\ln x}$

Desde $\frac{\ln y}{\ln x} < 1$, sería suficiente para demostrar que $\frac{e^{x\ln(y)}}{e^{y\ln(x)}} > 1$. Así:

$x\ln y> y\ln x$

$\frac{x}{y} > \frac{\ln x}{\ln y}$

¿Cómo puedo probar el último bit?

Answer 1

Ignorar todo en el apartado "Edición". Tenemos:

(1) $x\ln(y) + \ln(\ln x) > y\ln x + \ln(\ln y)$

Deje $u = \frac{lnx}{lny} > 1$ e $v = lny > 0$

A continuación, $x = e^{uv}$, $y = e^v$

Sustituyendo x y y en (1) obtenemos:

$e^{uv}v + lnu + lnv > e^vuv + lnv$

$e^{uv}v + lnu - e^vuv > 0$

$lnu > v(ue^v - e^{uv})$

Si $ue^v - e^{uv} \leq 0$ , a continuación, aceptar.

Otra cosa deje $ue^v - e^{uv} > 0$

$ue^{v} > e^{uv}$

$lnu + v > uv$

$lnu > v(u - 1)$

Ahora será suficiente para mostrar que:

(2) $u - 1 > ue^v - e^{uv}$

Deje $f(v) = u - 1 - ue^v + e^{uv}$, $v \geq 0$

Desde $f(0) = 0$, ahora podemos demostrar que $f'(v) > 0$ para $v > 0$.

$f'(v) = ue^{uv} - ue^v > 0$ como $u > 1$

Lo que significa que f es creciente para $v > 0$ y por lo tanto (2) se satisface.