Demostrando concavidad del derivado

Question

Deje $f(x)$ ser definida y continua y derivable para $x>-1$, $f(0)=1$, $f'(0)=0$y $$f''(x) = \frac {1+x}{1+f(x)}.$$ Demostrar que $f'(x)$ es cóncava hacia arriba para todos los $x>-1$.

Mi intento: Traté de integrar al multiplicar ambos lados por $dy/dx$ pero no pudo continuar.

Answer 1

1. De hecho, $f'$ NO puede ser convexa en $(-1,+\infty)$.

Desde $f^{''}=\frac{1+x}{1+f}$, $f\neq-1$ para todos los $x>-1$. Por otra parte, como $f(0)=1>-1$, por la continuidad, podemos concluir que $f>-1$ para todos los $x>-1$.

Ahora supongamos que al contrario que $f^{'}$ es convexa en a$(-1,+\infty)$. Como $f^{''}=\frac{1+x}{1+f}$ e $f>-1$, sabemos $f^{'''}$ existe. A continuación, la convexidad de $f^{'}$ implica que $f^{'''}\ge0$. Así que para todos los $x>0$, $$f^{''}(x)\ge f^{''}(0)=\frac{1+0}{1+1}=\frac12.~~~~~~~~~~~~~~(1)$$ De ello se desprende que $f(x)\ge\frac14x^2+1$ para todos los $x>0$. Pero esto nos da que $$f^{''}(x)\le\frac{1+x}{2+\frac14x^2}\rightarrow0 ~~\mathrm{when} ~~x\rightarrow\infty,$$ lo que contradice $(1)$.

2. Sin embargo, como att epl comentó, $f^{'}$ es convexa en a$(-1,0)$. Desde $f>-1$, $f^{''}=\frac{1+x}{1+f}$ tenemos que $f^{''}>0$. Así que para todos los $x\in(-1,0)$, $f^{'}(x)\le f^{'}(0)=0$. Así, por $x\in(-1,0)$, sostiene que $$f^{'''}(x)=\frac{1+f(x)-(1+x)f^{'}(x)}{(1+f(x))^2}\ge\frac1{1+f(x)}>0.$$ Esto implica $f^{'}$ es convexa en a$(-1,0)$.