Si$a,b,c,d\in\mathbb{Z^+}$ donde$ad=b^2+bc+c^2$, demuestre que$a^2+b^2+c^2+d^2$ es compuesto

Question

Si $a,b,c,d\in\mathbb{Z^+}$ donde $ad=b^2+bc+c^2$, demuestran que, a $a^2+b^2+c^2+d^2$ es compuesto.

Mi intento: $$a^2+b^2+c^2+d^2$$ $$=a^2+d^2+2ad+b^2+c^2+2bc-2ad-2bc$$ $$=(a+d)^2+(b+c)^2-2(b^2+bc+c^2)-2bc$$ $$=(a+d)^2+(b+c)^2-2(b^2+2bc+c^2)$$ $$=(a+d)^2+(b+c)^2-2(b+c)^2$$ $$=(a+d)^2-(b+c)^2$$ $$=(a+b+c+d)(a-b-c+d)$$ Ahora estoy tratando de demostrar que $a-b-c+d\not=1$ así que traté de asumir la contradicción, pero soy incapaz de terminar. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

En primer lugar, si al menos uno de $a,b,c,d$ es mayor que uno que $$a^2+b^2+c^2+d^2\gt a+b+c+d$ $ $$\therefore a-b-c+d\gt 1$ $ Si todos son iguales a $1$ , entonces $1^2+1^2+1^2+1^2=4$, que es compuesto .

Answer 2

Suponga que $a - b - c + d = 1$. Entonces usted recibirá de su resultado que

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a+b+c+d)(a-b-c+d) = a+b+c+d \tag{1}\label{eq1}$$

Ahora, desde la $a,b,c,d\in\mathbb{Z^+}$, tenga en cuenta que $a^2 \gt a$ si $a \gt 1$, e igualmente para $b, c, d$. Por lo tanto, \eqref{eq1} sólo puede ser verdadero es $a = b = c = d = 1$. En ese caso, $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$ que es compuesto. Por supuesto, si $a - b - c + d \neq 1$, entonces es también compuesto.