¿Por qué es importante tener la forma cerrada de una generación a la función?

Question

Estoy teniendo conferencias introductorias sobre la combinatoria, he sido presentado el concepto de la generación de funciones y aplicaciones a la solución de los problemas de combinatoria. La generación de la función de la secuencia de $(1,1,1,1,1,1,\ldots)$ es:

$$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots\tag{1}$$

Que se puede reducir a una forma cerrada de la expresión:

$$\displaystyle\frac{1}{1-x}\tag{2}$$

Pero hasta el momento presente, los ejercicios que he hecho en los capítulos que estamos estudiando, nos pidió a escribir $(1)$$(2)$, de que no había nada sobre el uso de la forma cerrada para obtener más resultados. En la combinatoria de los ejercicios que he realizado, he tenido sólo para evaluar el coeficiente de un término en la generación de la función o el exponente de un coeficiente determinado en el formal de la serie y al menos en el libro que estoy usando, no hay todavía ningún uso a la forma cerrada de ciertos poder formal de la serie.

Entonces, ¿por qué es importante tener una forma cerrada como $(2)$? Todavía no lo consigo por qué es importante/útil.

Answer 1

Hay muchas razones. Aquí están algunos:

1. Formas cerradas facilitar los cálculos con funciones de generación. Cierta combinatoria de las operaciones corresponden a operaciones sencillas en la generación de funciones tales como la adición y la multiplicación, y estos son facilitados por el trabajo con formas cerradas.

2. Demostrando identidades. Continuando con la viñeta anterior, las manipulaciones de la generación de las funciones que llevan a la función cero corresponden a una combinatoria de identidad que indica que la coincidencia de los coeficientes son iguales. Esto es importante para los métodos automatizados para demostrar la combinatoria de las identidades, como los que se describen en el libro, A=B. Otros ejemplos son las pruebas de ciertas identidades con respecto a la función de partición, y una prueba del teorema de los cuatro cuadrados.

3. La extracción de los coeficientes. Como usted menciona, si usted acaba de tomar una secuencia dada, y transformarla en una generación de función, esto parece no tener sentido. Pero a veces la generación de funciones puede ser el resultado de la resolución de las ecuaciones – el ejemplo clásico es la secuencia de Fibonacci. O podría ser el resultado de manipulaciones como se describe en la primera viñeta. Hay técnicas, tales como la fracción parcial de descomposición, para extraer los coeficientes de funciones de generación, y que puede ser utilizado para encontrar fórmulas de recurrencia de las secuencias.

4. Análisis asintótico. Probablemente la razón más importante para utilizar funciones de generación es que permiten el uso de métodos analíticos para determinar el orden de crecimiento de los coeficientes, utilizando diversas técnicas. Una rama de este enfoque es el método de las funciones características de la teoría de la probabilidad.