Evalúe $I=\int_{0}^{\infty}\frac{(x^2+x+1)dx}{(x^3+x+1)\sqrt{x}}$

Question

Evalúe $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{(x^2+x+1)dx}{(x^3+x+1)\sqrt{x}}$$

Mi intento:

Dejar $\sqrt{x}=t$ obtenemos

$$I=2\int_{0}^{\infty} \frac{t^4+t^2+1}{(t^6+t^2+1)}\,dt$$

Ahora

$$t^4+t^2+1=(t^2+1)^2-(t^2+1)+1$$

$$t^6+t^2+1=(t^2+1)^3-2(t^2+1)^2+(t^2+1)+1$$

¿Alguna pista entonces?

Answer 1

Permítanme atacar el problema original:

Si

$$ \alpha = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^3 + x + 1} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}, $$

entonces, ¿cuál es el valor de $31\alpha^4 - 40\alpha^2 - 24\alpha$?

Ya sabemos cómo resolver la ecuación de cuarto grado, es suficiente para identificar el valor de este polinomio de cuarto grado.

Mediante el empleo de la norma ojo de la cerradura de contorno, nos encontramos con que

$$ \alpha = \sum_{\omega \ : \ \omega^3 + \omega + 1 = 0} \frac{i}{\sqrt{\omega}} \frac{\omega^2 + \omega + 1}{3\omega^2 + 1}, $$

donde la rama de corte de $\sqrt{\cdot}$ es elegido como $[0, \infty)$. Usando la relación $\omega^3 + \omega + 1 = 0$, no es difícil comprobar que

$$ \left( \frac{i}{\sqrt{\omega}} \frac{\omega^2 + \omega + 1}{3\omega^2 + 1} \right)^2 = \frac{(\omega+1)(\omega+2)}{(2\omega+3)^2},$$

lo que sugiere la sustitución de $u = \frac{(x+1)(x+2)}{(2x+3)^2}$. En efecto, bajo esta sustitución, uno puede comprobar que

• $x^3 + x + 1 = 0$ implica $p(u) := 961u^3 - 620u^2 + 131u - 9 = 0$.

• Si $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$ son ceros de $p(u)$, a continuación, $\alpha = \sqrt{\xi_1} + \sqrt{\xi_2} + \sqrt{\xi_3}$, donde $\sqrt{\cdot}$ es ahora el director de la raíz cuadrada, es decir, la raíz cuadrada con la rama cortada $(-\infty, 0]$.

Luego por la relación entre la escuela primaria simétrica polinomios en los ceros de $p(u)$ y los coeficientes de $p(u)$, un.k.una. Vieta fórmulas, comprobamos que

$$ \alpha^2 = \left( \sum_{\mathrm{cyc}} \xi_1 \right) + 2 \left( \sum_{\mathrm{cyc}}\sqrt{\xi_1}\sqrt{\xi_2} \right) = \frac{20}{31} + 2 \left( \sum_{\mathrm{cyc}}\sqrt{\xi_1}\sqrt{\xi_2} \right), $$

y

$$ \left( \alpha^2 - \frac{20}{31} \right)^2 = 4 \left( \sum_{\mathrm{cyc}} \xi_1\xi_2 \right) + 8 \sqrt{\xi_1\xi_2\xi_3} \alpha = \frac{524}{31^2} + \frac{24}{31}\alpha.$$

Reordenando, obtenemos

$$ 31 \alpha^4 - 40\alpha^2 - 24\alpha = 4. $$

Por otra parte, resulta que esta ecuación tiene la única positivo cero, que es exactamente $\frac{1}{\pi}$ veces lo WolframAlpha rendimientos (como se ha demostrado en @Infiaria la respuesta).

Answer 2

Según Wolfram Alpha la respuesta es

$$\frac{\pi}{\sqrt{186}}\left(\sqrt{40-14\sqrt[3]{\frac{2}{47-3\sqrt{93}}}-\sqrt[3]{4\left(47-3\sqrt{93}\right)}}+\sqrt{80+14\sqrt[3]{\frac{2}{47-3\sqrt{93}}}+\sqrt[3]{4\left(47-3\sqrt{93}\right)}+36\sqrt{\frac{186}{40-14\sqrt[3]{\frac{2}{47-3\sqrt{93}}}-\sqrt[3]{4\left(47-3\sqrt{93}\right)}}}}\right)$$

que es aproximadamente $4.34952$ . Alternativamente, es simplemente la solución positiva de

$$\frac{31}{4\pi^4}x^4 - \frac{10}{\pi^2}x^2 - \frac{6}{\pi}x - 1 = 0 $$