Evalúa el límite sin usar la fórmula de Stirling

Question

Quiero demostrar que la

$$\lim_{n \to \infty} p \frac{n^{(p+1)/2} (n!)^p p^{np+1}}{(np+p)!} = p^{1/2} (2\pi)^{(p-1)/2}$$

Así que estoy trabajando el libro de La Función Gamma por Emile Artin. En el libro de este límite está implicado por probar la de Gauss, la multiplicación de la fórmula de la Función Gamma. El libro utiliza la Fórmula de Stirling para $n!$ a mostrar el límite es que. Sin embargo, me pregunto si hay otra forma de prooving este límite que no utilice la Fórmula de Stirling. ¿Alguien ve alguna manera de acercarse a este??

Editar

El límite de hacer algún tipo de manipulación es la misma que

$$\lim_{n \to \infty} p \frac{(n!)^p p^{np}}{(np)!n^{(p-1)/2}}$$

tal vez esto ayude a alguien attempmting esta tarea

Answer 1

Puede utilizar el desarrollo de producto de sine en lugar de la fórmula de Stirling.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} p\frac{(n!)^p p^{np}}{(np)!n^{(p-1)/2}} = p\prod\limits_{k=1}^{p-1}\Gamma\left(\frac{k}{p}\right)= p\sqrt{\prod\limits_{k=1}^{p-1}\Gamma\left(\frac{k}{p}\right)\Gamma\left(1-\frac{k}{p}\right)}=$

$\hspace{3.8cm}\displaystyle = p\sqrt{\prod\limits_{k=1}^{p-1}\frac{\pi}{\sin(\frac{\pi k}{p})}} = p\sqrt{\frac{\pi^{p-1}}{2^{1-p}p}}=\sqrt{p(2\pi)^{p-1}}$

Nota:

$\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{p-1}\sin\left(x+\frac{\pi k}{p}\right) = \frac{1}{(i2)^{p-1}} \prod\limits_{k=1}^{p-1}\left( e^{i(x+\frac{\pi k}{p})}- e^{-i(x+\frac{\pi k}{p})}\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{(i2)^{p-1}} \prod\limits_{k=1}^{p-1} e^{i\frac{\pi k}{p}} \prod\limits_{k=1}^{p-1}\left( e^{ix}- e^{-ix-i2\frac{\pi k}{p}}\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{(i2)^{p-1}} e^{i\frac{\pi(p-1)}{2}}\frac{e^{ipx}-e^{-ipx}}{e^{ix}-e^{-ix}} = 2^{1-p}\frac{\sin(px)}{\sin x} ~~(\,\to p2^{1-p}\,\,$ para $\,x\to 0\,)$

Answer 2

De la de de Moivre - Laplace teorema, o al menos de una forma particular de ella, tenemos que $$ {un \elegir n} \left(\frac{1}{a}\right)^n \left(\frac {- 1}{a}\right)^{(a-1)n} \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi \frac{1}{a} \left(\frac {- 1}{a}\right)}} \etiqueta{1} $$ como $n \to \infty$, para cada entero positivo $a$. (El símbolo "$\sim$" indica que el límite del cociente de los lados izquierdo y derecho es 1). La forma más directa para probar que esto es mediante el uso de la fórmula de Stirling, pero puedes probarlo sin Stirling fórmula más general de la teoría de la probabilidad. Véase, por ejemplo, el Teorema 7 en Tao notas sobre las variantes del teorema del límite central.

La ecuación (tal como se expresa en su edición) $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^un a^{an}}{(an)! n^{(a-1)/2}} = a^{1/2} (2\pi)^{(a-1)/2}, $$ que también se puede escribir como $$ \frac{(an)!}{(n!)^un} \sim \sqrt{a} \frac{a^{an}}{(2 \pi n)^{(a-1)/2}}. $$ Esto es equivalente a la ecuación (1), mediante el uso de $$ \frac{\frac{(an)!}{(n!)^un}}{\frac{((a-1)n!}{(n!)^{(a-1)}}} = {un \elegir n} $$ y la inducción en $a$.