Dado que los racionales son contables, puede enumerarlos en una secuencia $(a_n)_{n\geq 0}$ de tal manera que cada racional aparezca al menos una vez en la secuencia. ¿Existe tal listado $(a_n)_{n \geq 0}$ para el cual $$\sum_{k = 0}^{\infty} a_kx^k =a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...$ $ tiene un formulario cerrado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
G Cab
Puntos
51
Los siguientes son sólo algunos preliminar thougts sobre cómo podríamos comenzar y planteamiento del problema, que son de todos modos demasiado largo para un comentario.
A lo largo de la pista de la secuencia de Farey, podríamos construir un 2 variables de generación de función para todos los racionales en $[0,1]$como $$ f(x,y) = \sum\limits_{1\, \le \,n} {\sum\limits_{1 \le m \le n} {\left[ {\mcd (n,m) = 1} \right]{m \sobre n}x^{\,n} y^{\,m} } } $$ donde $[P]$ denota la Iverson soporte.
También podemos construir la o.g.f. anterior siguiente los pasos de Stern-Brocot árbol $$ \eqalign{ y f_0 (x,y) = 0 x + xy \cr y f_1 (x,y) = 0 x + {1 \over 2}x^{\,2} y + xy \cr y f_2 (x,y) = 0 x + {1 \over 3}x^{\,3} y {1 \over 2}x^{\,2} y + {2 \más de 3}x^{\,3} y^{\,2} + xy \cr & \quad \vdots \cr} $$
Sabemos que el algoritmo para la construcción de la única términos de la función, pero (a mi conocimiento) no es un cerrado de expresión para que,
incluso cambiando a exponencial g.f. o de otros.
