Viniendo de alguien no muy conocedor de la teoría algebraica de los números parece impar. En aquella época no tenían la potencia de cálculo para determinar si los valores muy altos (>>163) eran números de Heegner; así que, ¿por qué suponer siquiera que había una cantidad finita en lugar de infinita (y mucho menos los nueve que hay exactamente)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ejboy
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La primera respuesta es que no lo hizo. Gauss trabajó con formas cuadráticas binarias con coeficiente medio par (el determinante de una forma $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2$ es $B^2 - AC$ ), por lo que algunos de sus números de clase son en realidad números de clase de anillo módulo $2$ (igual a $3h$ , donde $h$ es el número de clase habitual). En las Disquisitiones (art. 303) da una lista, de la que doy un extracto aquí:
$$ \begin{array}{c|l} h & {\rm determinant} \\ \hline 1 & 1, 2, 3, 4, 7 \\ 3 & 11, 19, 23, 27, 31, 43, 67, 163 \end{array} $$ Por supuesto, es fácil trasladar esto a nuestros números de clase habituales, que es donde el valor nueve hasta $163$ vienen. En el caso de Gauss, demostrar que sólo hay un número finito de determinantes con número de clase de Gauss $1$ es en realidad bastante fácil; la parte difícil es demostrar que los que tienen el número de clase de Gauss $3$ son finitos.
Gauss también observó que parece que sólo hay un número finito de determinantes con números de clase pequeños dados.
Además de la evidencia computacional, Gauss también sabía que el número de clase de sus formas crece asintóticamente como $$ \gamma \sqrt{D} - \delta, $$ donde $\gamma = 2\pi/7e$ y $\delta = 2/\pi^2$ (art. 302).
user8269
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46
Gauss tenía mucha capacidad de cálculo. Calculó el número de clases hasta 2000, y descubrió que eran más escasas a medida que subía de nivel, con ninguna después de 163. Eso parecía suficiente para conjeturar que no había más.
Gauss trabajaba con formas cuadráticas, más que con campos cuadráticos, y cuanto mayor era el discriminante, más fácil era encontrar formas no equivalentes, por lo que era lógico que finalmente no hubiera discriminantes con una sola clase de formas.
