¿Por qué llamamos "números" a los números complejos pero no consideramos números a los 2 vectores?

Question

Nos referimos a los números complejos como números. Sin embargo, nos referimos a los vectores como matrices de números. No parece haber nada que haga que uno sea más numérico que el otro. ¿Se trata sólo de un capricho de la historia y la nomenclatura o hay algo más fundamental?

Answer 1

Se llaman "números" por razones históricas, ya que la motivación en el desarrollo de los números complejos fue resolver ecuaciones polinómicas. Se consideraban extensiones naturales de los números reales. Resulta bastante natural y satisfactorio decir que "toda ecuación polinómica puede resolverse con algún número (complejo) número ". ¿Es más natural considerar $i$ como un número que, elevado al cuadrado, es igual a $-1$ , o ¿es más natural considerar $i$ como algo no numérico que al cuadrado es igual a $-1$ ? Claramente lo primero.

Los sistemas numéricos "superiores", como los cuaterniones, no se llaman realmente números muy a menudo, por el simple hecho de que no están tan íntimamente relacionados con la teoría de los números y el análisis de la misma manera que los números complejos.

Más allá de estas convenciones sociales, no veo ninguna otra razón. La palabra "número" no tiene una definición estricta o absoluta en las matemáticas puras. $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son técnicamente sólo conjuntos con una determinada estructura algebraica.

Estoy parcialmente en desacuerdo con las otras respuestas que afirman que los números complejos son números simplemente por el hecho de que se pueden sumar y multiplicar. Bueno, si ese es el razonamiento, ¿es todo anillo también un conjunto de números?

Answer 2

Las dos operaciones fundamentales para los números son la "adición" y la "multiplicación", que obedecen a unas "leyes" muy bonitas de la aritmética. También es importante el cálculo de potencias. Se pueden hacer todas esas cosas con los complejos números . Se pueden sumar dos vectores, pero el producto "punto" de dos vectores no es un vector y el producto "cruz" de dos vectores no cumple las "leyes agradables". Ni el producto punto ni el producto cruz de vectores pueden utilizarse para definir potencias.

Answer 3

Los números aparecieron primero cuando empezamos a contar cosas. $1$ árbol, $2$ árboles, $3$ árboles, etc. Que conforman el conjunto de números naturales no nulos: $\mathbb{N}$ . Después, la gente empezó a "contar hacia atrás" para conseguir $\mathbb{Z}$ (Es una broma, puedes investigar un poco sobre cómo aparecieron históricamente los números negativos). Con el afán de dividir cosas sin restos, el conjunto de números racionales $\mathbb{Q}$ se abrió paso en el mundo. Una cierta idea de continuidad geométrica nos da $\mathbb{R}$ . Finalmente queremos que todas las ecuaciones tengan una raíz, así $\mathbb{C}$ entra en juego.

Supongo que lo que se considera "números" es más bien una cuestión social. El uso de $\mathbb{C}$ en la física y su $2$ -La representación D debe haber dado una buena intuición para que un gran conjunto de personas acepte que es lo suficientemente intuitiva como para ser considerada "números".

Creo que no es tan natural pensar en $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$ -espacio vectorial de dimensión $2$ no más natural que pensar en $\mathbb{R}$ como una dimensión infinita $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial, ni de $\mathbb{Q}$ como una generación no infinita $\mathbb{Z}$ -módulo.

Answer 4

Creo que la nomenclatura es un tema más bien blando, por lo que es posible que no haya una respuesta dura. Sin embargo, creo que vale la pena señalar que los números complejos son una de las tres álgebras asociativas de división real (números reales, números complejos y cuaterniones). Todas ellas están vinculadas por la idea de que la división tiene sentido en esos tres sistemas.

En general, un vector real de 2 dimensiones no puede admitir un concepto de división que se ajuste a lo que esperamos que haga la división. Sin embargo, si dicho vector real define la suma y la multiplicación como lo hacen los números complejos, la división es un resultado natural de esas definiciones.

Answer 5

Tanto los números complejos como los espacios vectoriales son matemáticas espacios, es decir, conjuntos equipados con algunos estructura, Por ejemplo, las operaciones (como la suma o la multiplicación) y las reglas que obedecen (como la conmutatividad o la asociatividad). Sin esa estructura, estos conjuntos son bastante inútiles: Apenas se pueden hacer afirmaciones interesantes sobre ellos o conectarlos con la realidad.

Por ejemplo, sin ninguna estructura, la única diferencia entre y ² es cómo tendemos a nombrar los objetos que hay dentro: Podemos encontrar mapas biyectivos entre ellos . Por supuesto, una vez que impongamos la estructura habitual a estos conjuntos, observaremos que estos mapas no preservan nada de ella (ni siquiera son continuos) y, por tanto, no son muy relevantes.

Ahora bien, para ² (el espacio de los 2 vectores) y , alguna estructura como la suma es la misma, pero otra no, por ejemplo, no hay equivalente a la multiplicación compleja en ². Esta distinción en la estructura es la única diferencia relevante entre ² y . Si se define una multiplicación de 2 vectores que simplemente refleje la multiplicación compleja, se estarían inventando los números complejos con un nombre diferente.

Hasta aquí el motivo por el que está justificado aplicar etiquetas diferentes a los números complejos y a los 2 vectores. En cuanto a por qué llamamos a los números complejos números en primer lugar, ciertamente hay un poco de historia en juego (de la que sé poco) y número no es un concepto definido matemáticamente. Dicho esto, llamar a los números complejos números no es completamente desviado de la consistencia, dado que los números complejos presentan la mayoría de las propiedades estructurales de otros conjuntos que llamamos números (por razones aún más históricas), por ejemplo, la gran mayoría de las cosas que se pueden hacer con los números reales, también se pueden hacer con los números complejos. Esto no ocurre con los 2 vectores.